Мутация (теория узлов)

Узел Киношиты — Терасаки^[англ.] (11n42) и узел Конвея (11n34) связаны мутацией.

В теории узлов мутация — это специальный вид преобразования узлов. Мутация выбирает маленькую часть узла и либо отражает, либо поворачивает её, вследствие чего получается некий новый (возможно исходный) узел, который называется мутантом исходного.

Определение

Пусть K — узел, заданный в виде диаграммы^[англ.]^*. Пусть D — диск в плоскости диаграммы, границы которого пересекают K ровно четыре раза. Можно считать (в случае необходимости используем изотопию), что диск геометрически круглый и четыре точки пересечения расположены на равном расстоянии. Часть узла внутри диска называется диаграммой тэнгла^[англ.]. Имеется два отражения, которые меняют местами пары концов нитей на диаграмме этого тэнгла. Кроме того, имеются также вращения. Мутация заменяет исходный тэнгл на тэнгл, полученный любой из этих операций. В результате получается узел, который называется мутацией узла K[1].

Пару узлов, связанных мутацией, называют узлами-мутантами или просто мутантами. Здесь слово «мутант» используется в значении «результат мутации» и всегда имеет отношение сразу к двум узлам. Пример использования: Узел ${\displaystyle K}$ мутант узла ${\displaystyle Q}$, узлы ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle Q}$ мутанты (по отношению друг ко другу).

Свойства

• Если один мутант тривиален, то и другой тривиален. Иными словами, из тривиального узла мутацией можно получить только тривиальный узел, или, что равносильно, тривиальный узел является изолированной вершиной в гордиевом графе мутации.[2]
• Многие классические инварианты у мутантов совпадают, поэтому нередко задача различения двух узлов, связанных мутацией, оказывается достаточно сложной. Так, например, узлы-мутанты имеют одинаковый гиперболический объём (результат Рубемана), Многочлен Александера, сигнатуру, гомологии разветвленных накрытий^[англ.], n-раскрашиваемость и многочлен HOMFLY.
• Однако группа узла и род могут различить мутантов.

Примеры

• Пара узлов, Конвея и Киношиты-Терасака, являются мутантами друг друга, но имеют различный род, равный 3 и 2 соответственно.

Примечания

1. Livingston, 1996, с. 214.
2. Morton, 2015, Теорема 4.

Литература

• Adams C. C. The Knot Book. An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots (англ.). — New York: American Mathematical Society, 2004. — 307 p. — ISBN 978-0821836781.

• Cromwell P. R. Knots and Links (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — 328 p. — ISBN 9780511809767.

• Livingston C. Knot Theory (англ.). — The Mathematical Association of America, 1996. — Vol. 24. — 258 p. — (The Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0883850275.

• Morton H. R. Mutant knots (англ.) // New ideas in low dimensional topology. — 2015. — P. 379—412. — doi:10.1142/9789814630627_0010.