Узел называется ручным, если он может быть «утолщён», то есть если существует его расширение до полноторияS 1 × D 2, допускающего вложение в 3-сферу.
В теории узлов и в теории 3-многообразии часто слово «ручной» опускается.
Узлы, не являющиеся ручными, называются ди́кими и могут иметь патологическое поведение.
Примеры
Дикими являются узлы, содержащие так называемые дуги Фокса — Артина[англ.]* — некоторые простые дуги, полученные диким вложением в . Например, для дуги фундаментальная группа() нетривиальна, для дуги группа тривиальна, но само не гомеоморфно дополнению в к точке[1].
На рисунке выше приведён дикий узел с одной дикой (патологической) точкой. Легко построить дикий узел, содержащий несколько патологических точек, бесконечное число таких точек, и даже несчётное множество патологических точек. В книге Сосинского[2] приведено построение дикого узла, патологические точки которого образуют канторово множество.
Возможно представить и дикий узел, содержащее более сложное множество — ожерелье Антуана[2].
Свойcтва
Узел является ручным тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде конечнойломаной.
↑Войцеховский М. И.Дикий узел // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. [69] (стб. 137—138).
L. H. Kauffman.An invariant of regular isotopy // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1990. — Vol. 318, № 2.
А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — ISBN 5-94057-220-0.