Розгортка Пра́вильний стодвадцятикомі́рник , або просто стодвадцятикомі́рник [ 1] правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі . Відомий також під іншими назвами: гекатонікосахор (від дав.-гр. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцять» і χώρος — «місце, простір»), гіпердодекае́др (оскільки є чотиривимірним аналогом додекаедра ), додекаплекс (тобто «комплекс додекаедрів»), полідодека́едр . Двоїстий шестисоткомірнику .
Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років[ 2] Символ Шлефлі стодвадцятикомірника — {5,3,3}.
Усі 9 його зірчастих форм — правильні зірчасті багатокомірники . З 10 правильних зірчастих багатокомірників лише один не є зірчастою формою стодвадцятикомірника.
Обмежений 120 тривимірними комірками — однаковими додекаедрами . Кут між двома суміжними комірками дорівнює рівно
144
∘
{\displaystyle 144^{\circ }}
Його 720 двовимірних граней — однакові правильні п'ятикутники . Кожна грань відокремлює 2 комірки, що прилягають до неї.
Має 1200 ребер однакової довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.
Має 600 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней та по 4 комірки.
Стодвадцятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб:
координати 24 його вершин були різноманітними перестановками чисел
(
0
;
0
;
±
2
;
±
2
)
;
{\displaystyle (0;0;\pm 2;\pm 2);}
координати 64 вершин — різноманітними перестановками
(
±
1
;
±
1
;
±
1
;
±
5
)
;
{\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5}});}
координати 64 вершин — різноманітними перестановками
(
±
Φ
−
2
;
±
Φ
;
±
Φ
;
±
Φ
)
,
{\displaystyle (\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),}
Φ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
золотого перетину ; координати 64 вершин — різноманітними перестановками
(
±
Φ
−
1
;
±
Φ
−
1
;
±
Φ
−
1
;
±
Φ
2
)
;
{\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});}
координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками
(
0
;
±
Φ
−
2
;
±
1
;
±
Φ
2
)
;
{\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});}
координати 96 вершин — різноманітними парними перестановками
(
0
;
±
Φ
−
1
;
±
Φ
;
±
5
)
;
{\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ;\pm {\sqrt {5}});}
координати решти 192 вершин — різноманітними парними перестановками
(
±
Φ
−
1
;
±
1
;
±
Φ
;
±
2
)
.
{\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).}
Початок координат
(
0
;
0
;
0
;
0
)
{\displaystyle (0;0;0;0)}
тривимірних гіперсфер .
Вигляд зовні Вигляд зсередини
Якщо стодвадцятикомірник має ребро довжини
a
,
{\displaystyle a,}
гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як
V
4
=
15
4
(
105
+
47
5
)
a
4
≈
787,856
9810
a
4
,
{\displaystyle V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 787{,}8569810a^{4},}
S
3
=
30
(
15
+
7
5
)
a
3
≈
919,574
2753
a
3
.
{\displaystyle S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.}
Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.
R
=
1
2
(
10
+
3
2
)
a
≈
3,702
4592
a
,
{\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\approx 3{,}7024592a,}
радіус зовнішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах)
ρ
1
=
1
2
(
15
+
2
3
)
a
≈
3,668
5425
a
,
{\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\approx 3{,}6685425a,}
радіус внутрішньої напівуписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)
ρ
2
=
1
10
(
65
+
29
5
)
a
≈
3,603
4146
a
,
{\displaystyle \rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 3{,}6034146a,}
радіус уписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах)
r
=
1
4
(
7
+
3
5
)
a
≈
3,427
0510
a
.
{\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.}
