Піраміда (геометрія)

Неправильна шестигранна піраміда.

Елементи піраміди.

Пірамі́да (від грец. πυραμίς, род. відм. πῡρᾰμῐ́δος) — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Піраміда буває тупокутною (якщо який-небудь двогранний кут між бічною гранню і основою більше 90 градусів) і гострокутною.

Пряма піраміда це піраміда із вершиною, яка розміщена прямо над центром її основи. Не правильні піраміди називають похиленими пірамідами. Правильна піраміда має в основі правильний многокутник.[1][2]

Опис

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими многогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули

• Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:
  ${\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}pl={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha }$,
  де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, ${\displaystyle \alpha }$ — кут при вершині піраміди
• Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:
  ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh}$

Особливі випадки піраміди

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо основою її є правильний багатокутник, а вершина проєктується в центр основи. Тоді вона має такі властивості:

• Бічні ребра правильної піраміди рівні;
• В правильній піраміді всі бічні грані — конгруентні трикутники;
• В будь-яку правильну піраміду можна як вписати, так і описати навколо неї сферу;
• Якщо центри вписаної і описаної сфери збігаються, то сума плоских кутів при вершині піраміди дорівнює ${\displaystyle \pi }$, а кожен з них відповідно ${\displaystyle {\frac {\pi }{n}}}$, де ${\displaystyle n}$ — кількість сторін багатокутника основи[3];
• Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему.
• Тілесний кут при вершині правильної n-кутної піраміди[4]

${\displaystyle \Omega =2\pi -2n\cdot \arcsin \left({\frac {2H\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}{4H^{2}+a^{2}\cdot \left(\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)^{2}}}\right)}$

Прямокутна піраміда

Піраміда називається прямокутною, якщо одне з бічних ребер піраміди перпендикулярне основі. В даному випадку, це ребро і є висотою піраміди.

Тетраедр

Тетраедром називається трикутна піраміда. У тетраедра кожна з граней може бути прийнята за основу піраміди. Крім того, існує велика різниця між поняттями «правильна трикутна піраміда» і «правильний тетраедр». Правильна трикутна піраміда — це піраміда з правильним трикутником в основі (межі ж повинні бути рівнобокими трикутниками). Правильним тетраедром є тетраедр, у якого всі грані є рівносторонніми трикутниками.

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

1. Бічні ребра піраміди рівні;
2. Бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
3. Проєкція вершини піраміди на площину її основи збігається з центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
2. Двогранні кути при основі піраміди рівні;
3. Вершина піраміди проєктується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

Див. також

• Багатогранний конус
• Зрізана піраміда
• Кубічна піраміда

Примітки

1. William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.46
2. Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers [Архівовано 2018-02-25 у Wayback Machine.]
3. Готман Э. Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу [Архівовано 22 січня 2012 у Wayback Machine.] // Квант. — 1998. — № 4.
4. Harish Chandra Rajpoot, 2015.

Джерела

• Погорєлов О. В. Геометрія: Стереометрія: підруч. для 10—11 кл. серед. шк. — 6-те вид. — К. : Освіта, 2001.— 128 с. — ISBN 966-04-0334-8.
• Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / О. М. Афанасьєва [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга — Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8.
• Михайленко В. Є., Ковальов С. М. та ін. Нарисна геометрія: підручник для вузів. — К. : Вища школа,1993. — 134 с.
• Mr Harish Chandra Rajpoot. Mathematical Analysis of Regular Spherical Polygons (Spherical Geometry by HCR) // M.M.M. University of Technology. — Gorakhpur-273010 (UP) India, 2015. — Jan. — С. 4-5.

Посилання

• Піраміда // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 151. — ISBN 978-966-7407-83-4.