Блоковий многогранник

Бло́ковий многогра́нник — це багатовимірний многогранник, утворений із симплекса багаторазовим приклеюванням іншого симплекса до однієї з його фасет[1].

Приклади

Будь-який симплекс сам є блоковим многогранником.

У тривимірному просторі кожен блоковий многогранник є многогранником із трикутними гранями, і деякі з дельтаедрів (многогранники з гранями у вигляді правильних трикутників) є блоковими многогранниками.

У блоковому многограннику кожен новий симплекс дотикається лише до однієї з граней попередніх симплексів. Тоді, наприклад, многогранник, утворений склеюванням разом п'яти правильних тетраедрів навколо спільного відрізка, є блоковим многогранником (у ньому є невелика щілина між першим і останнім тетраедрами). Однак схожа п'ятикутна біпіраміда блоковим многогранником не є, оскільки при склеюванні тетраедрів разом останній тетраедр склеєний з трикутними гранями двох попередніх тетраедрів, а не одного.

Інші блокові многогранники:

Три тетраедри	Чотири тетраедри	П'ять тетраедрів

Комбінаторна структура

Граф Аполлонія — граф блокового многогранника

Неорієнтований граф, утворений вершинами і ребрами блокового многогранника в d-вимірному просторі, є (d + 1)-деревом. Точніше графи блокових многогранників — це точно (d + 1)-дерева, в яких будь-яка d-вершинна кліка (повний підграф) міститься максимум у двох кліках з (d + 1) вершиною[2]. Наприклад, графи тривимірних блокових многогранників — це точно графи Аполлонія, тобто графи, отримані з трикутника багаторазовим поділом трикутної грані на три менших трикутники.

Одна з причин важливості блокових многогранників полягає в тому, що серед усіх d-вимірних симпліційних многогранників із заданим числом вершин блокові многогранники мають найменшу можливу кількість граней вищої розмірності. Для тривимірних симпліційних многогранників число ребер і двовимірних граней визначається числом вершин за формулою Ейлера незалежно від того, є многогранник блоковим чи ні, але для вищих розмірностей це неправильно. Аналогічно, симпліційні многогранники, що максимізують число граней вищої розмірності для фіксованого числа вершин — це циклічні многогранники[1].

Примітки

1. Miller, Reiner, Sturmfels, 2007.
2. Koch, Perles, 1976, с. 391–420.

Література

• Ezra Miller, Victor Reiner, Bernd Sturmfels. Geometric Combinatorics. — American Mathematical Society, 2007. — Т. 13. — (IAS/Park City mathematics series) — ISBN 9780821886953.
• Etan Koch, Micha A. Perles. Covering efficiency of trees and k-trees // Congressus Numerantium. — Winnipeg, Manitoba, Canada : Utilitas Mathematica, 1976. — Т. 17.. Proceedings of the Seventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing (Louisiana State Univ., Baton Rouge, La., 1976)