Гіробіфастигіум

Гіробіфастигіум

Гіробіфастигіум або двосхилий повернутий бікупол[1] є 26-м многогранником Джонсона (J₂₆). Його можна побудувати, об'єднавши дві трикутні призм з правильними гранями відповідними квадратним гранями з поворотом однієї призми на 90º[2]. Це єдине тіло Джонсона, яким можна заповнити тривимірний простір[3][4].

Історія та назва

Многогранник Джонсона є одним з 92 строго опуклих многогранників, що мають правильні грані, але не є однорідними многогранниками (тобто не є платоновими тілами, архімедовими тілами, призмами або антипризмами). Тіла названо ім'ям Нормана Джонсона^[en], який вперше перелічив їх 1966 року[5].

Назва гіробіфастигіум походить від латинського слова fastigium, що означає двосхилий дах[6]. У стандартних домовленостях про найменування тіл Джонсона бі- означає з'єднання двох тіл за їх основами, а гіро- означає дві половинки, повернуті одна відносно одної.

Положення гіробіфастигіума в списку тіл Джонсона безпосередньо перед бікуполом^[en] пояснюється тим, що його можна розглядати як двокутний гіробікупол. Подібно до того, як інші правильні куполи мають чергування квадратів і трикутників, що оточують багатокутник у вершині (трикутник , квадрат або пятикутник^[en]), кожна половина гіробіфастигіума складається з почергових квадратів і трикутників, з'єднаних угорі ребром.

Стільники

Повернутий трикутний призматичний стільник можна побудувати, упаковуючи багато однакових гіробіфастигіумів. Гіробіфастигіум є одним з п'яти опуклих многогранників з правильними гранями, здатних заповнити простір (інші чотири — куб, зрізаний октаедр, трикутна і шестикутна призми), і єдине тіло Джонсона з цією властивістю[3][4].

Біпризма Шмітта-Конвея-Данцер

Формули

Наведені далі формули для об'єму і площі поверхні можна використовувати, якщо всі грані є правильними багатокутниками з ребрами довжини a:

${\displaystyle V=({\frac {\sqrt {3}}{2}})a^{3}\approx 0.866025...a^{3}}$

${\displaystyle A=(4+{\sqrt {3}})a^{2}\approx 5.73205...a^{2}}$

Топологічно еквівалентні многогранники

Біпризма Шмітта — Конвея — Данцера

Біпризма Шмітта — Конвея — Данцера (або протоплитка SCD[7]) є многогранником, топологічно еквівалентним гіробіфастигіуму, але з гранями у формі паралелограма і неправильних трикутників замість квадратів і правильних трикутників. Подібно до гіробіфастигіума, цей многогранник може заповнити простір, але тільки аперіодично або з гвинтовою симетрією^[en] , а не з повною групою тривимірної симетрії. Таким чином, цей многогранник дає частковий розв'язок тривимірної задачі однієї плитки[8][9].

Двоїстий многогранник гіробіфастигіума

Біфастигіум

Пов'язані многогранники

Двоїстий многогранник гіробіфастигіума має 8 граней — 4 рівнобедрених трикутники, відповідних вершинам степеня 3, і 4 паралелограми, відповідних вершинам степеня 4.

Біфастигіум (дігональний ортобікупол^[en]), подібно до гіробіфастигіума, утворений склеюванням двох рівносторонніх трикутних призм бічними квадратними гранями, але без повороту. Він не є тілом Джонсона, оскільки його трикутні грані копланарні (лежать в одній площині). Однак існує самодвоїстий опуклий многогранник з неправильними гранями, що має таку ж комбінаторну структуру. Цей многогранник схожий з гіробіфастигіумом у тому, що вони мають по вісім вершин і вісім граней, з гранями, що утворюють пояс із чотирьох квадратних граней, які розділяють дві пари трикутників. Однак у двоїстому гіробіфастигіумі дві пари трикутників повернуті одна відносно іншої, а в біфастигіумі не повернуті.

Примітки

1. Залгаллер, 1967, с. 21.
2. Darling, 2004, с. 169.
3. Alam, Haas, 2006, с. 346–357.
4. Kepler, 2010, с. 146.
5. Johnson, 1966, с. 169–200.
6. Rich, 1875, с. 523–524.
7. Forcing Nonperiodicity With a Single Tile [Архівовано 18 жовтня 2021 у Wayback Machine.] Joshua E. S. Socolar and Joan M. Taylor, 2011
8. Senechal, 1996, с. 209–213.
9. Tiling Space with a Schmitt-Conway Biprism [Архівовано 22 вересня 2020 у Wayback Machine.] wolfram demonstrations

Література

• S. M. Nazrul Alam, Zygmunt J. Haas. Proceedings of the 12th Annual International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom '06). — New York, NY, USA : ACM, 2006. — P. 346–357. — ISBN 1-59593-286-0. — DOI:10.1145/1161089.1161128.
• Johannes Kepler. [1] — Paul Dry Books, 2010. — ISBN 9781589882850. Архівовано з джерела 11 квітня 2016 Виноска 18
• David J. Darling. [2] — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471667001. Архівовано з джерела 15 квітня 2016
• Norman W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — DOI:10.4153/cjm-1966-021-8.
• Anthony Rich. Dictionary of Greek and Roman Antiquities / William Smith. — London : John Murray, 1875.
• Marjorie Senechal. [3] — Cambridge University Press, 1996. — ISBN 9780521575416. Архівовано з джерела 19 серпня 2020
• В. А. Залгаллер. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1967. — Т. 2.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Гіробіфастигіум(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.