Дельтаедри

Найбільший строго опуклий дельтаедр є правильним ікосаедром
Зрізаний тетраедр з шестикутниками, розбитими на трикутники. Це тіло не є строго опуклим дельтаедром, оскільки розташовані в одній площині грані неприпустимі за визначенням.

Дельтаэдр — це багатогранник, всі грані якого є правильними трикутниками. Назву взято від грецької великої літери дельта (), яка має форму рівностороннього трикутника. Існує нескінченно багато дельтаедрів, але з них лише вісім опуклі, і вони мають 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 і 20 граней[1].

Нижче перелічено числа граней, ребер і вершин для кожного з восьми дельтаедрів.

Опуклі дельтаедри

Всього існує 8 опуклих дельтаедрів[2], 3 з яких є платоновими тілами, а 5 — багатогранниками Джонсона.

У дельтаедра з 6 гранями деякі вершини мають ступінь 3, а деякі — ступінь 4. У дельтаедрів з 10, 12, 14 і 16 гранями деякі вершини мають ступінь 4, а деякі — ступінь 5. Ці п'ять неправильних дельтаедрів належать до класу правильногранних багатогранників — опуклих багатогранників з гранями у вигляді правильних багатокутників.

Не існує опуклого дельтаедра з 18 гранями[3]. Однак ікосаедр зі стягнутим ребром[en] є прикладом октаедра, який можна зробити опуклим з 18 неправильними гранями, або з двома наборами по три рівносторонніх трикутники, що лежать в одній площині.

Правильні дельтаедри
Назва Зображення Кількість
вершин 		Кількість
ребер 		Кількість
граней 		Конфігурація
вершини 		Група симетрії
Правильний тетраедр 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
Правильний октаедр (чотирикутна біпіраміда) 6 12 8 6 × 34 Oh, [4,3]
Правильний ікосаедр 12 30 20 12 × 35 Ih, [5,3]
Дельтаедри Джонсона
Трикутна біпіраміда 5 9 6 2 × 33
3 × 34 		D3h, [3,2]
П'ятикутна біпіраміда 7 15 10 5 × 34
2 × 35 		D5h, [5,2]
Кирпатий двоклиноїд 8 18 12 4 × 34
4 × 35 		D2d, [2,2]
Тричі нарощена трикутна призма 9 21 14 3 × 34
6 × 35 		D3h, [3,2]
Скручено-подовжена чотирикутна біпіраміда 10 24 16 2 × 34
8 × 35 		D4d, [4,2]

Нестрого опуклі випадки

Існує нескінченно багато дельтаедрів з копланарними (належними одній площині) трикутниками. Якщо множини копланарних трикутників вважати однією гранню, можна нарахувати менше граней, ребер і вершин. Копланарні трикутні грані можуть бути злиті в ромбічні, трапецієподібні, шестикутні або інші рівносторонні багатокутні грані. Кожна грань має бути опуклим поліамондом, таким як , , , , , , і , …[4]

Деякі невеликі приклади

оКопланарные дельтаэдры
Малюнок Назва Граней Ребер Вершин Конфігурації вершин Група симетрії
Нарощений октаедр[en]
Нарощення
1 тетр. + 1 окт. 		10 15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
4
3 		12
Трикутний трапецоедр[en]
Нарощення
2 тетр. + 1 окт. 		12 18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
6 12
Нарощення
2 тетр. + 1 окт. 		12 18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
2
2
2 		11 7
Трикутна зрізана піраміда
Нарощення
3 тетр. + 1 окт. 		14 21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36 		C3v, [3]
1
3
1 		9 6
Подовжений октаедр(інші мови)
Нарощення
2 тетр. + 2 окт. 		16 24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36 		D2h, [2,2]
4
4 		12 6
Тетраедр
Нарощення
4 тетр. + 1 окт. 		16 24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36 		Td, [3,3]
4 6 4
Нарощення
3 тетр. + 2 окт. 		18 27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36 		D2h, [2,2]
2
1
2
2 		14 9
Ікосаедр зі стягнутим ребром[en] 18 27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
12
2 		22 10
Двозрізана біпіраміда[en]
Нарощення
6 тетр. + 2 окт. 		20 30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36 		D3h, [3,2]
2
6 		15 9
Трискатний купол
Нарощення
4 тетр. + 3 окт. 		22 33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36 		C3v, [3]
3
3
1
1 		15 9
Трикутна біпіраміда
Нарощення
8 тетр. + 2 окт. 		24 36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36 		D3h, [3]
6 9 5
Шестикутна антипризма 24 36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36 		D6d, [12,2+]
12
2 		24 12
Зрізаний тетраедр
Нарощення
6 тетр. + 4 окт. 		28 42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36 		Td, [3,3]
4
4 		18 12
Тетракіскубоктаедр[en]Октаедр
Нарощення
8 тетр. + 6 окт. 		32 24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36 		Oh, [4,3]
8 12 6

Неопуклі дельтаедри

Неопуклих і тороїдальних дельтаедрів існує нескінченно багато.

Приклад дельтаедра з самоперетинами граней:

Інші неопуклі дельтаедри можна отримати шляхом додавання пірамід до граней всіх 5 правильних багатогранників:

Триакістетраедр Тетракісгексаедр Триакісоктаедр
(stella octangula) 		Пентакісдодекаедр Триакісікосаедр
12 трикутників 24 трикутників 60 трикутників

Інші нарощення тетраедрів:

Приклади: Нарощені тетраедри
8 трикутників 10 трикутників 12 трикутників

Також шляхом додавання до граней перекинутих пірамід:


Виїмчастий додекаедр[en]
Тороїдальний дельтаедр
60 трикутників 48 трикутників

Примітки

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947, с. 115–128.
  2. ↑ Выпуклые дельтаэдры. Архів оригіналу за 26 вересня 2020. Процитовано 27 жовтня 2020.
  3. ↑ Trigg, 1978, с. 55–57.
  4. ↑ The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces. Архів оригіналу за 26 жовтня 2020. Процитовано 27 жовтня 2020.

Література

  • Freudenthal H., van der Waerden B. L. Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid") // Simon Stevin[en]. — 1947. — Т. 25 (27 грудня). — С. 115–128. (Автори показали, що існує тільки 8 опуклих дельтаедрів.)
  • Charles W. Trigg. An Infinite Class of Deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — Т. 51, вип. 1 (27 грудня). — С. 55–57.