Тетракісгексаедр

Тетракісгексаедр
Тип	каталанове тіло
Граней	24 рівнобедрені трикутники:
Ребер	36
Вершин	14
Діаграма Коксетера
Група симетрії	Oh (октаедрична)
Група обертань	O, [4,3]^+, (432)
Площа поверхні	${\displaystyle S={\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}a^{2}\approx 11{,}9256959a^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V={\frac {32}{9}}a^{3}\approx 3{,}5555556a^{3}}$
Двогранний кут (градуси)	${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {4}{5}}\right)\approx 143{,}13^{\circ }}$
Дуальний многогранник	зрізаний октаедр
опуклий, ізоедральний
Розгортка

Тетракісгексаедр (від дав.-гр. τετράχις — «чотири рази», ἕξ — «шість» і ἕδρα — «грань»), також званий тетрагексаедром або заломленим кубом, — напівправильний многогранник (каталанове тіло), двоїстий зрізаному октаедру. Складений із 24 однакових гострокутних рівнобедрених трикутників, у яких один із кутів дорівнює ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1}{9}}\approx 83{,}62^{\circ },}$ а два інші — ${\displaystyle \arccos \,{\frac {2}{3}}\approx 48{,}19^{\circ }.}$

Має 14 вершин; у 6 вершинах (розташованих так само, як вершини октаедра) сходяться своїми більшими кутами по 4 грані, у 8 вершинах (розташованих так само, як вершини куба) сходяться меншими кутами по 6 граней.

У тетракісгексаедра 36 ребер — 12 «довгих» (розташованих так само, як ребра куба) і 24 «коротких». Двогранні кути при будь-якому ребрі однакові і дорівнюють ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {4}{5}}\right)\approx 143{,}13^{\circ }.}$

Тетракісгексаедр можна отримати з куба, приклавши до кожної його грані правильну чотирикутну піраміду з основою, що дорівнює грані куба, і висотою, яка в ${\displaystyle 4}$ рази менша від сторони основи. При цьому отриманий многогранник матиме по 4 грані замість кожної з 6 граней початкового, що й пояснює його назву.

Тетракісгексаедр — одне з трьох каталанових тіл, у яких існує ейлерів шлях[1].

Метричні характеристики

Якщо «короткі» ребра тетракісгексаедра мають довжину ${\displaystyle a}$, то його «довгі» ребра мають довжину. ${\displaystyle {\frac {4}{3}}a\approx 1{,}33a,}$ а площа поверхні та об'єм виражаються як

${\displaystyle S={\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}a^{2}\approx 11{,}9256959a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {32}{9}}a^{3}\approx 3{,}5555556a^{3}.}$

Радіус вписаної сфери (яка дотикається до всіх граней многогранника в їхніх інцентрах) при цьому дорівнює

${\displaystyle r={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}a\approx 0{,}8944272a,}$

радіус напіввписаної сфери (що дотикається до всіх ребер)

${\displaystyle \rho ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0{,}9428090a.}$

Описати навколо тетракісгексаедра сферу так, щоб вона проходила через усі вершини, неможливо.

У координатах

Тетракісгексаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати ${\displaystyle (\pm 2;\;\pm 2;\;\pm 2),}$${\displaystyle (\pm 3;\;0;\;0),}$${\displaystyle (0;\;\pm 3;\;0),}$${\displaystyle (0;\;0;\;\pm 3).}$

Початок координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ буде при цьому центром симетрії многогранника, а також центром його вписаної та напіввписаної сфер.

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Графы каталановых тел(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Тетракісгексаедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.