Архімедове тіло

Ромбозрізаний ікосододекаедр є найбільшим архімедовим тілом за об'ємом (для одиничної довжини ребра), а також з найбільшою кількістю вершин і ребер.

Псевдоромбокубооктаедр має одну вершинну фігуру, 3.4.4.4, але з поворотом одного квадратного купола. На відміну від (не повернутого) ромбокубооктаедра, фігура не є вершинно-транзитивною.

В геометрії архімедове тіло (архімедів многогранник) — це високо симетричний напівправильний опуклий многогранник, гранями якого є два або більше типів правильних многокутників, що примикають до ідентичних вершин. Вони відрізняються від платонових тіл (правильних многогранників), які складаються тільки з одного типу многокутників в однакових вершинах, і від многогранників Джонсона, правильні многокутні грані яких належать різним типам вершин.

Тут поняття «ідентичні вершини» означає, що для будь-яких двох вершин існує ізометрія всього тіла, яка переводить одну вершину в іншу. Іноді тільки потрібно, щоб грані, прилеглі до однієї вершини, були ізометричними граням при іншій вершині. Ця різниця в термінах визначає, вважається подовжений квадратний гіробікупол^[ru] (псевдоромбокубооктаедр) архімедовим тілом чи многогранником Джонсона — це єдиний опуклий многогранник, в якому многокутні межі примикають до вершини однаковим способом у кожній вершині, але многогранник не має глобальної симетрії, яка б переводила будь-яку вершину в будь-яку іншу. Ґрунтуючись на існуванні псевдоромбокубооктаедра, Ґрюнбаум[1] запропонував термінологічну відмінність, у якій архімедове тіло визначається як таке, що має одну і ту ж вершинну фігуру в кожній вершині (включно з подовженим квадратним гіробікуполом), тоді як однорідний многогранник визначається як тіло, у якого будь-яка вершина симетрична будь-який інший (що виключає гіробікупол^[ru]).

Призми і антипризми, групами симетрій яких є діедричні групи, як правило, не вважаються архімедовим тілами, незважаючи на те, що вони підпадають під визначення, дане вище. З цим обмеженням існує тільки скінченне число архімедових тіл. Всі тіла, крім подовженого квадратного гіробікупола, можна отримати побудовами Вітгоффа з платонових тіл за допомогою тетраедричної, октаедричної^[en] і ікосаедричної^[ru] симетрій.

Походження назви

Архімедові тіла отримали назву на честь Архімеда, який обговорював їх у нині втраченій роботі. Папп посилається на цю роботу і стверджує, що Архімед перелічив 13 многогранників[1]. За часів Відродження художники і математики цінували чисті форми і перевідкрити їх усі. Ці дослідження були майже повністю закінчені близько 1620 року Йоганном Кеплером[2], який визначив поняття призм, антипризм і неопуклих тіл, відомих як тіла Кеплера - Пуансо.

Кеплер, можливо, знайшов також подовжений квадратний гіробікупол (псевдоромбоікосаедр) — щонайменше, він стверджував, що є 14 архімедових тіл. Однак його опубліковані переліки включають тільки 13 однорідних многогранників, і перше ясне твердження про існування псевдоромбоікосаедра зробив 1905 року Дункан Соммервіль[1].

Класифікація

Існує 13 архімедових тіл (не рахуючи подовженого квадратного гіробікупола; 15, якщо враховувати дзеркальні відображення двох енантіоморфів, які нижче перелічені окремо).

Тут вершинна конфігурація відноситься до типів правильних многокутників, які примикають до вершини. Наприклад, вершинна конфігурація (4,6,8) означає, що квадрат, шестикутник і восьмикутник зустрічаються у вершині (порядок переліку береться за годинниковою стрілкою відносно вершини).

Назва (альтернативна назва)	Шлефлі Коксетер	Прозорий	Непрозорий	Розгортка	Вершинна фігура	Граней		Ребер	Вершин	Об'єм (за одинич- ного ребра)	Група точок
Зрізаний тетраедр	{3,3}	(Обертання)			3.6.6	8	4 трикутники 4 шестикутники	18	12	2.710576	Td
Кубооктаедр (ромботетраедр)	r{4,3} або rr{3,3} або	(Обертання)			3.4.3.4	14	8 трикутників 6 квадратів	24	12	2.357023	Oh
Зрізаний куб	t{4,3}	(Обертання)			3.8.8	14	8 трикутників 6 восьмикутників	36	24	13.599663	Oh
Зрізаний октаедр (зрізаний тетратераедр)	t{3,4} або tr{3,3} або	(Обертання)			4.6.6	14	6 квадратів 8 шестикутників	36	24	11.313709	Oh
Ромбокубооктаедр (малий ромбокубооктаедр)	rr{4,3}	(Обертання)			3.4.4.4	26	8 трикутників 18 квадратів	48	24	8.714045	Oh
Зрізаний кубооктаедр (великий ромбокубооктаедр)	tr{4,3}	(Обертання)			4.6.8	26	12 квадратів 8 шестикутників 6 восьмикутників	72	48	41.798990	Oh
Кирпатий куб (кирпатий кубоктаедр)	sr{4,3}	(Обертання)			3.3.3.3.4	38	32 трикутники 6 квадратів	60	24	7.889295	O
Ікосододекаедр	r{5,3}	(Обертання)			3.5.3.5	32	20 трикутників 12 п'ятикутників	60	30	13.835526	Ih
Зрізаний додекаедр	t{5,3}	(Обертання)			3.10.10	32	20 трикутників 12 десятикутників	90	60	85.039665	Ih
Зрізаний ікосаедр	t{3,5}	(Обертання)			5.6.6	32	12 п'ятикутників 20 шестикутників	90	60	55.287731	Ih
Ромбоікосододекаедр (малий ромбоікосододекаедр)	rr{5,3}	(Обертання)			3.4.5.4	62	20 трикутників 30 квадратів 12 п'ятикутників	120	60	41.615324	Ih
Ромбозрізаний ікосододекаедр	tr{5,3}	(Обертання)			4.6.10	62	30 квадратів 20 шестикутників 12 десятикутників	180	120	206.803399	Ih
Кирпатий додекаедр (кирпатий ікосододекаедр)	sr{5,3}	(Обертання)			3.3.3.3.5	92	80 трикутників 12 п'ятикутників	150	60	37.616650	I

Деякі визначення напівправильних многогранників включають ще одне тіло — подовжений квадратний гіробікупол або «псевдоромбокубооктаедр»[3].

Властивості

Число вершин дорівнює відношенню 720° до кутового дефекту при вершині.

Кубоктаедр і ікосододекаедр є реберно-однорідними і називаються квазіправильними^[ru].

Дуальні многогранники архімедових тіл називаються каталановими тілами. Разом з біпірамідами і трапецоедрами вони є гране-однорідними тілами з правильними вершинами.

Хіральність

Кирпатий куб і кирпатий додекаедр хіральні, оскільки вони з'являються в лівосторонньому і правосторонньому варіантах. Якщо щось має кілька видів, які є тривимірним дзеркальним відображенням один одного, ці форми називають енантіоморфами (ця назва застосовується також для деяких форм хімічних сполук).

Побудова архімедових тіл

Архімедові тіла можуть бути побудовані за допомогою положення генератора в калейдоскопі

Різні архімедові і платонові тіла можуть бути отримані одне з одного за допомогою декількох операцій. Починаючи з платонових тіл, можна використовувати операцію зрізання кутів. Для збереження симетрії зрізання виконується площиною, перпендикулярною до прямої, що з'єднує кут з центром многокутника. Залежно від того, наскільки глибоко виконується зрізання (див. таблицю нижче), отримаємо різні платонові і архімедові (й інші) тіла. Розширення^[ru] або скошування^[ru] здійснюється шляхом руху граней у напрямку від центра (на однакову відстань, щоб зберегти симетрію) і створенням, потім, опуклої оболонки. Розширення з поворотом здійснюється також обертанням граней, це ламає прямокутники, що виникають на місцях ребер, на трикутники. Остання побудова, яке ми тут розглянемо, це зрізання як кутів, так і ребер. Якщо нехтувати масштабування, розширення можна також розглядати як зрізання кутів і ребер, але з певним відношенням між зрізаннями кутів і ребер.

Побудова архімедових тіл

Симетрія		Тетраедрична	Октаедрична^[en]		Ікосаедрична
Початкове тіло Операція	Символ {p, q}	Тетраедр {3,3}	Куб {4,3}	Октаедр {3,4}	Додекаедр {5,3}	Ікосаедр {3,5}
Зрізання (t)	t{p, q}	Зрізаний тетраедр	Зрізаний куб	Зрізаний октаедр	Зрізаний додекаедр	Зрізаний ікосаедр
Повне зрізання (r) Амвон (a)	r{p, q}	Тетратетраедр	Кубооктаедр		Ікосододекаедр
Глибоке зрізання^[en] (2t) (dk)	2t{p, q}	Зрізаний тетраедр	Зрізаний октаедр	Зрізаний куб	Зрізаний ікосаедр	Зрізаний додекаедр
Подвійне повне зрізання (2r) Двоїстий (d)	2r{p, q}	Тетраедр	Октаедр	Куб	Ікосаедр	Додекаедр
Скошування (rr) Розширення (e)	rr{p, q}	Кубооктаедр	Ромбокубооктаедр		Ромбоікосододекаедр
Кирпате спрямлення (sr) Спрямлення^[en] (s)	sr{p, q}	Кирпатий тетратетраедр	Кирпатий куб		Кирпатий ікосододекаедр
скіс-зрізання^[en] (tr) Скошування (b)	tr{p, q}	Зрізаний октаедр	Зрізаний кубооктаедр		Ромбозрізаний ікосододекаедр

Зауважимо двоїстість між кубом і октаедром і між додекаедром і ікосаедром. Також, частково внаслідок самодвоїстості тетраедра, тільки одне архімедове тіло має тільки одну тетраедричну симетрію.

Див. також

• Аперіодична мозаїка
• Архімедів граф
• Однорідний многогранник
• Тороїдальний многогранник
• Квазікристал
• Напівправильний многогранник
• Правильний многогранник

Примітки

1. Grünbaum, 2009.
2. Field, 1997, с. 241—289.
3. Malkevitch, 1988, с. 85.

Література

• Field J. . Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
• Grünbaum, Branko. . An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — doi:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
• Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston : Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
• Pugh, Anthony. . Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
• Udaya, Jayatilake. . Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
• Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Archimedean solid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Archimedean Solids [Архівовано 20 лютого 2016 у Wayback Machine.] by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project .
• Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids [Архівовано 20 лютого 2016 у Wayback Machine.]
• Free paper models (nets) of Archimedean solids [Архівовано 6 лютого 2016 у Wayback Machine.]
• The Uniform Polyhedra [Архівовано 11 лютого 2008 у Wayback Machine.] by Dr. R. Mäder
• Virtual Reality Polyhedra [Архівовано 23 лютого 2008 у Wayback Machine.], The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart
• Penultimate Modular Origami [Архівовано 15 липня 2010 у Wayback Machine.] by James S. Plank
• Interactive 3D polyhedra на Java
• Solid Body Viewer^[недоступне посилання] Інтерактивний перегляд 3D-многогранників, який дозволяє зберегти модель у форматі svg, stl або obj.
• Stella: Polyhedron Navigator [Архівовано 9 липня 2010 у Wayback Machine.]: Програмне забезпечення для створення зображень, багато з яких є на цій сторінці.
• Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra [Архівовано 25 січня 2021 у Wayback Machine.]