|
Тетраедрична симетрія
 Правильний тетраедр має 12 обертових (зі збереженням орієнтації) симетрій та симметрії[en] порядку 24, що включають комбінацію відбиттів та обертань. Група всіх симетрій ізоморфна групі S4, симетричній групі перестановок чотирьох елементів, оскільки є рівно одна така симетрія для кожної перестановки вершин тетраедра. Множина симетрій, що зберігають орієнтацію, утворює групу, яка є знакозмінною підгрупою A4 групи S4. ПодробиціХіральна і повна (або ахіральна тетраедрична симетрія та піритоедрична симетрія) є симетріями дискретних точок[ru] (або, що те саме, симетріями на сфері). Вони входять у кристалографічні групи симетрії кубічної сингонії. У стереографічній проєкції ребра тетракісгексаедра утворюють на площині 6 кіл (або центральних радіальних прямих). Кожне з цих кіл представляє дзеркало в тетраедричній симетрії. Перетини цих кіл дають точки обертання порядку 2 і 3.
Хіральна тетраедрична симетрія
T, 332, [3,3]+, або 23 порядку 12 — хіральна або обертальна тетраедрична симетрія. Є три ортогональних 2-разових осі обертання, на зразок хіральної діедричної симетрії[en] D2 або 222, а також чотири додаткові 3-разові осі. Ця група ізоморфна A4 знакозмінній групі 4 елементів. Фактично, це група парних перестановок чотирьох 3-разових осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23). Класами спряженості T є:
Обертання на 180° разом з тотожним перетворенням утворюють нормальну підгрупу типу Dih2 з фактор-групою типу Z3. Трьома елементами останньої є тотожне перетворення, «обертання за годинниковою стрілкою» і «обертання проти годинникової стрілки», що відповідають перестановкам трьох ортогональних 2-разових осей зі збереженням орієнтації. A4 — найменша група, яка показує, що теорема, обернена до теореми Лагранжа, в загальному випадку, хибна — якщо дано скінченну групу G і дільник d числа |G|, не обов'язково існує підгрупа групи G з порядком d — група G = A4 не має підгрупи порядку 6. Підгрупи хіральної тетраедричної симетрії
Хіральна тетраедрична симетрія Td, *332, [3,3] чи 43m порядку 24 — ахіральна чи повна тетраедрична симетрія, відома також як група трикутника[en] (2,3,3). Ця група має такі ж осі обертань, що й T, але з шістьма площинами дзеркальної симетрії, які проходять через кожну пару 3-разових осей. 2-разові осі тепер є осями S4 (4). Td і O ізоморфні як абстрактні групи — обидві групи відповідають S4, симетричній групі 4 елементів. Td є об'єднанням T і множини, отриманої комбінацією кожного елемента O \ T з центральною симетрією. Див. також ізометрії неправильного тетраедра. Класами спряженості Td є:
Підгрупи ахіральної тетраедричної симетрії
Пірітоедрична симетрія  Th, 3*2, [4,3+] або m3 порядку 24 — піритоедрична симетрія.[1] Ця група має ті ж самі осі обертання, що й T з дзеркальними площинами через два ортогональних напрямки. 3-рвзові осі тепер є осями S6 (3), і є центральна симетрія. Th ізоморфна T × Z2 — кожен елемент Th є або елементом T, або елементом, комбінованим із центральною симетрією. Крім цих двох нормальних підгруп, є ще одна нормальна підгрупа D2h (прямокутного паралелепіпеда), типу Dih2 × Z2 = Z2 × Z2 × Z2. Вона є прямим добутком нормальної підгрупи T (див. вище) з Ci. Фактор-група та ж сама, що й вище — Z3. Три елементи останньої — тотожне перетворення, "обертання за годинниковою стрілкою"і" обертання проти годинникової стрілки", відповідні перестановкам трьох ортогональних 2-разових осей зі збереженням орієнтації. Це симетрія куба, в якого кожну грань розділено відрізком на два прямокутники, причому ніякі два відрізки не мають кінців на одному ребрі куба. Симетрії відповідають парним перестановкам діагоналей куба разом з центральною інверсією. Симетрія пентагондодекаедра[ru] (піритоедра) дуже близька до описаної вище симетрії куба. Пірітоедр можна отримати з куба з розділеними навпіл гранями заміною прямокутників п'ятикутниками з однією віссю симетрії, 4 рівними сторонами; відмінна за довжиною сторона ділить квадратну грань куба навпіл. Тобто грані куба випинаються по відрізку, який їх ділить, а сам відрізок стає меншим. Симетрія куба з розділеними гранями є підгрупою групи повної ікосаедричної симетрії[en] (як група ізометрії, не просто як абстрактна група) з 4 із 10 3-разових осей. Класи спряженості Th включають класи спряженості T з комбінаціями двох класів із 4, а також кожен із класів із центральною симетрією:
Підгрупи піритоедричної симетрії
Тіла з хіральною тетраедричною симетрією
Тіла з повною тетраедричною симетрією
Див. такожПриміткиЛітература
Посилання
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Portal di Ensiklopedia Dunia
