Симетрична група

Граф Келі симетричної групи S₄

Симетрична група множини X — це група всіх перестановок X (тобто бієкцій X →X) щодо операції композиції.

Симетрична група множини X позначається S(X). Якщо X = {1, 2,…, n}, то S(X) позначається S_n.

Нейтральним елементом в симетричній групі є тотожна перестановка ${\displaystyle id}$, тобто тотожне відображення:

${\displaystyle id(x)=x}$ для всіх x з X.

Порядком групи S_n (тобто кількістю її елементів) є n! (n-факторіал).

${\displaystyle Ord(S_{n})=n!}$

Теорема Келі

Будь-яка група ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів ${\displaystyle G}$.

Групи низького порядку

S₀ та S₁

Групи з одного елементу.

S₂

Група з 2 елементів, циклічна, а отже і абелева.

S₃

Перша неабелева симетрична група. Ізоморфна діедральній групі порядку 6.

S₄

Ізоморфна групі поворотів куба.

S₅

Є групою Галуа для рівняння п'ятого степеня.

Властивості

• При ${\displaystyle n\geq 3}$ симетрична група S_n некомутативна.
• При ${\displaystyle n\geq 5}$ симетрична група S_n є нерозв'язною.

Див. також

• Група чорної скриньки
• Обчислювальна теорія груп

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)