Циклічна група

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні ${\displaystyle ng}$, де ${\displaystyle g\in G,n\in \mathbb {Z} }$).

Формально, для мультиплікативних груп:

${\displaystyle G=\langle a\rangle =\left\{a^{n}\ |\ n\in \mathbb {Z} \right\}.\ }$

для адитивних:

${\displaystyle G=\langle a\rangle =\left\{na\ |\ n\in \mathbb {Z} \right\}.\ }$

Приклади

• Група ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
• Група ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ цілих чисел за модулем ${\displaystyle n}$ з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
• Група коренів з ${\displaystyle n}$-го степеня з ${\displaystyle 1}$ (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості

• Всі циклічні групи є абелевими.

Це випливає з асоціативності групи.

• Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить ${\displaystyle a^{k}}$ в ${\displaystyle k}$.

Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що ${\displaystyle a^{n}=1}$ та ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {n}}.}$

• У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: ${\displaystyle 1}$ та ${\displaystyle -1}$; для скінченної групи порядку ${\displaystyle n}$ їх кількість рівна функції Ейлера ${\displaystyle \varphi (n),}$ тобто кількості чисел менших від ${\displaystyle n}$ і взаємно простих з ${\displaystyle n}$.

Для скінченної циклічної групи елемент ${\displaystyle k}$ є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з ${\displaystyle n}$. Тоді існують ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ для яких виконується ${\displaystyle ak+bn=1}$ тобто ${\displaystyle ak\equiv 1{\pmod {n}}}$. Відповідно ${\displaystyle 2ak\equiv 2{\pmod {n}}}$ і так для всіх елементів.

Навпаки якщо ${\displaystyle ak\equiv 1{\pmod {n}}}$ то ${\displaystyle ak-1}$ ділиться на ${\displaystyle n}$ тобто рівне ${\displaystyle nb}$ для деякого цілого ${\displaystyle b}$. Тоді ${\displaystyle ak-bn=1}$? що можливо лише для взаємно простих чисел.

• Якщо порядок групи — просте число, то така група циклічна.

Є наслідком теореми Лагранжа.

• Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення

Нехай ${\displaystyle G}$ — циклічна група і ${\displaystyle H}$ — її підгрупа. Вважатимемо, що ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle H}$ не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай ${\displaystyle g}$ — твірний елемент групи ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle n}$ — найменше додатне ціле число, таке що ${\displaystyle g^{n}\in H}$. Твердження: ${\displaystyle H=\langle g^{n}\rangle }$

${\displaystyle \langle g^{n}\rangle \subseteq H}$

${\displaystyle {\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\,{\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z}}}$

${\displaystyle g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H}$

Відповідно, ${\displaystyle \langle g^{n}\rangle \subseteq H}$.

${\displaystyle H\subseteq \langle g^{n}\rangle }$

Нехай ${\displaystyle h\in H}$.

${\displaystyle h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}}$.

Згідно з алгоритмом ділення ${\displaystyle \exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r<n\land x=qn+r}$

${\displaystyle \ h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}}$.

${\displaystyle h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H}$.

Зважаючи на вибір ${\displaystyle n}$ і те, що ${\displaystyle 0\leq r<n}$, одержуємо ${\displaystyle r=0}$.

${\displaystyle r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle }$.

Відповідно, ${\displaystyle H\subseteq \langle g^{n}\rangle }$.

Див. також

• Теорія груп
• Модульна арифметика
• Циклічний граф

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)