Симплектична група

В математиці симплектичною групою називають групу симплектичних відображень чи еквівалентно симплектичних матриць на симплектичному векторному просторі над деяким полем. У випадку поля комплексних чисел так також називають певні компактні підгрупи груп симплектичних матриць (інші назви цієї групи — унітарні чи компактні симплектичні групи).

Симплектичні групи є прикладами так званих класичних груп. Вони мають широке застосування у геометрії, фізиці, теорії груп Лі (зокрема компактні симплектичні групи є однією з чотирьох нескінченних послідовностей груп, які разом з п'ятьма винятковими групами є основою для класифікації всіх компактних груп Лі).

Означення

В загальному випадку симплектичною групою для модуля ${\displaystyle E}$ з заданою на ньому симплектичною (кососиметричною і білінійною) формою над комутативним кільцем ${\displaystyle K}$ називається група автоморфізмів, що не змінюють дану симетричну форму.

Особливе значення має випадок, коли ${\displaystyle K}$ є полем і ${\displaystyle \omega }$ — невиродженою симплектичною формою. Тоді група лінійних перетворень породжується лінійними перетвореннями ${\displaystyle A_{\alpha ,y}}$, що рівні ${\displaystyle A_{\alpha ,y}(x)=x+\alpha \omega (y,x)x.}$ Кожне з цих перетворень очевидно зберігає значення симплектичної форми.

Еквівалентно симплектичну групу порядку 2n можна означити як групу матриць, що задовольняють умову ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,,}$ де ${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}.}$

Симплектичну групу порядку 2n над полем ${\displaystyle K}$ позначають ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,K)}$ або іноді ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n,K).}$ В даній статті використовуватиметься перше позначення.

Властивості

• Визначники всіх симплектичних матриць рівні 1, тобто симплектична група є підгрупою спеціальної лінійної групи.
• Центром групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,K)}$ для полів характеристики 2 є матриця ${\displaystyle I_{2n},}$ а для інших полів центр складається з матриць ${\displaystyle I_{2n}}$ і ${\displaystyle -I_{2n}.}$ Факторгрупа ${\displaystyle \operatorname {PSp} (2n,K)=\operatorname {Sp} (2n,K)/Z}$ по центру групи називається проективною симплектичною групою. Ці групи є простими окрім груп ${\displaystyle \operatorname {PSp} (2,\mathbb {F} _{2}),\;\operatorname {PSp} (4,\mathbb {F} _{2}),\;\operatorname {PSp} (2,\mathbb {F} _{3}),}$ де ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ —поле p q елементів.
• Порядок групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} _{q})}$ рівний

${\displaystyle q^{n^{2}}(q^{2}-1)\cdots (q^{2n-2}-1)(q^{2n}-1).}$

• Алгебра Лі групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,K)}$ (як алгебраїчної групи) є алгебра матриць ${\displaystyle M}$, для яких виконується рівність:

${\displaystyle \Omega M+M^{\mathrm {T} }\Omega =0,}$ де ${\displaystyle \Omega }$ — матриця описана вище. Еквівалентно матриці з цієї алгебри Лі це матриці, які можна записати у блочному виді:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

де всі блоки є квадратними матрицями порядку n і B і C є симетричними матрицями.

Дійсні комплексні симплектичні групи Лі

Серед усіх симплектичних груп особливе значення мають групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ симплектичних груп над полем дійсних чисел і ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ симплектичних груп над полем комплексних чисел. Усі ці групи для довільних порядків є групами Лі. Вони задовольняють таким властивостям:

• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ є простою групою Лі (зокрема її алгебра Лі є простою), однозв'язною, некомпактною. Її розмірність як комплексного многовида рівна n(2n + 1), розмірність як дійсного аналітичного многовида відповідно 2n(2n + 1).
• Алгебри Лі комплексних симплектичних груп, що позначаються ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$ утворюють нескінченну послідовність простих алгебр Лі, що є однією з чотирьох нескінченних серій простих алгебр Лі, що разом з п'ятьма виключними алгебрами Лі вичерпують множину всіх простих алгебр Лі.
• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ є простою некомпактною зв'язаною але не однозв'язною групою Лі.
• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ має тип гомотопії групи ${\displaystyle S^{1}\times \operatorname {SU} (n)}$ тож її фундаментальна група рівна ${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} ))\cong \mathbb {Z} .}$
• Алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$ є дійсною формою алгебри Лі ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$ тобто комплексифікація алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$ рівна ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} ).}$
• Як многовид ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ є дифеоморфним добутку ${\displaystyle \operatorname {U} (n)\times \mathbb {R} ^{n(n+1)}.}$
• Довільний елемент групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ є добутком двох елементів, що є образами експоненти, тобто

${\displaystyle \forall \;S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\;\exists \;X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} ):\;S=e^{X}e^{Y}.}$

Групи Sp(p,q)

Окрім групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ іншими дійсними формами групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ (тобто підгрупами комплексифікація алгебр Лі для яких є рівною ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )}$) є групи, що позначаються ${\displaystyle \operatorname {Sp} (p,q)}$ де ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;\;p+q=n.}$

Елементами групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (p,q)}$ є матриці з ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$, що залишають незмінними ермітові форми виду ${\displaystyle \sum _{i=1}^{2n}\epsilon _{i}z_{i}{\bar {z}}_{i},}$ де ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ є рівним 1 для ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant p}$ або ${\displaystyle n+1\leqslant i\leqslant n+p}$ і ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ є рівним -1 для всіх інших значень i.

Група ${\displaystyle \operatorname {Sp} (p,q)}$ є ізоморфною групі лінійних перетворень векторного простору ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ (де ${\displaystyle n=p+q}$) над тілом кватерніонів ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ що зберігають незмінною кватерніонну ермітову форму, тобто форму виду:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{p}x_{i}{\bar {y}}_{i}-\sum _{i=p+1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i},}$ де ${\displaystyle x_{i},y_{i},\;\;}$— координати векторів кватерніонів, а риска зверху означає спряження в тілі кватерніонів.

Група Sp(n)

Серед груп ${\displaystyle \operatorname {Sp} (p,q)}$ найважливішими є групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (0,n)}$, які переважно позначають ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n).}$ Ці групи теж часто називають симплектичними, хоча вони не є такими згідно означення даного вище. Вони мають наступні властивості

• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cong \operatorname {U} (2n)\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} ),\;}$ тому для ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ часто також використовується позначення ${\displaystyle \operatorname {USp} (2n,\mathbb {C} ).}$
• В тих же позначеннях, що і вище група ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ є ізоморфною групі лінійних перетворень кватерніонного векторного простору, що зберігають незмінними ермітові форми ${\displaystyle (x,y)=\sum _{i=p+1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i},}$ тобто ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cong \operatorname {U} (n,\mathbb {H} ).}$
• ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ є компактною однозв'язною простою дійсною групою Лі, розмірність якої рівна n(2n + 1). Її алгебра Лі є єдиною компактною дійсною формою алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} ).}$ Якщо розглядати ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ як групу кватерніонних унітарних матриць, то її алгебра Лі є алгеброю кватерніонних матриць для яких виконуються умови ${\displaystyle A+A^{\dagger }=0}$ де ${\displaystyle A^{\dagger }}$ — матриця отримана транспонуванням і кватерніонним спряженням. Дужками Лі при цьому є комутатор матриць
• Групи ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ утворюють одну з чотирьох нескінченних серій компактних простих однозв'язних груп Лі, які є ключовими для класифікації всіх компактних груп Лі.
• Як дійсний многовид ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ є дифеоморфним добутку ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\times \mathbb {R} ^{n(2n+1)}.}$

Основні властивості груп ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$ і ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ подані у таблиці нижче:

	Матриці	Група Лі	Dim/ℝ	Dim/ℂ	Компактність	π1
Sp(2n,ℝ)	ℝ	дійсна	n(2n + 1)	–		ℤ
Sp(2n,ℂ)	ℂ	комплексна	2n(2n + 1)	n(2n + 1)		1
Sp(n)	ℍ	дійсна	n(2n + 1)	–	x	1

Див. також

• Симплектична матриця

Посилання

• "Symplectic group" [Архівовано 6 квітня 2016 у Wayback Machine.], Encyclopedia of Mathematics

Література

• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Mathematics, т. 60 (вид. second), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222, Springer-Verlag, ISBN 0-387-40122-9
• Fulton, W.; Harris, J. (1991), Representation Theory, A first Course, Graduate Texts in Mathematics, т. 129, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8.
• Goldstein, H. (1980). Chapter 7. Classical Mechanics (вид. 2nd). Reading MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Graduate Texts in Mathematics, т. 218, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95448-1
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0 19 859683 9