Симплектична матриця

Симплектична матриця — в лінійній алгебрі квадратна матриця, порядок якої є парним числом, що є матрицею лінійного перетворення на симплектичному просторі, що зберігає симплектичну форму. Відповідне лінійне перетворення теж називається симплектичним.

Симплектичні перетворення і матриці є важливими в симплектичній геометрії, а також теорії груп Лі. Група всіх симплектичних матриць заданого порядку утворюють групу Лі, що називається симплектичною групою.

Означення

Нехай ${\displaystyle S}$ — симплектичний векторний простір і ${\displaystyle \omega }$ — його симплектична форма, тобто невироджена кососиметрична білінійна форма. Лінійне перетворення ${\displaystyle A}$ називається симплектичним, якщо ${\displaystyle \omega (AX,AY)=\omega (X,Y),\;\;\forall X,Y\in S.}$ Матриця ${\displaystyle M}$ називається симплектичною, якщо вона є матрицею деякого симплектичного перетворення.

На просторі ${\displaystyle S}$ завжди можна вибрати базис, в якому ${\displaystyle \omega (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{n+i}-x_{n+i}y_{i},}$ де ${\displaystyle x_{i},\;i=1,\ldots ,2n}$ і ${\displaystyle y_{j},\;j=1,\ldots ,2n}$ — координати веторів ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ у цьому базисі. Якщо ввести на ${\displaystyle S}$ скалярний добуток ${\displaystyle (X,Y)=\sum _{i=1}^{2n}x_{i}y_{i}}$ при тих же позначеннях, то отримується рівність:

${\displaystyle \omega (X,Y)=(X,\Omega Y),}$ де ${\displaystyle \Omega }$ — блочна матриця виду

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

Визначник матриці ${\displaystyle \Omega }$ рівний 1 і для неї справедливими є рівності ${\displaystyle \Omega ^{-1}=\Omega ^{T}=-\Omega .}$

З цих властивостей можна отримати еквівалентне означення симплектичної матриці: матриця називається симплектичною, якщо для неї виконується рівність:

${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,.}$

Для комплексних матриць зустрічаються різні означення симплектичних матриць, зокрема означення може бути таким, як і в попередній формулі в дійсному випадку або замість транспонування може використовуватися ермітове спряження ${\displaystyle M^{*}.}$

Властивості

• З формули ${\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega \,}$ і властивостей визначника відразу отримується результат, що ${\displaystyle \det M=\pm 1.}$ Насправді для всіх симплектичних матриць ${\displaystyle \det M=1.}$
• Якщо M матриця розмірності 2n×2n то її можна записати у виді

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

де A, B, C, D є матрицями розмірності n×n. Умова симплектичності M є еквівалентною умовам

${\displaystyle A^{\text{T}}D-C^{\text{T}}B=I}$

${\displaystyle A^{\text{T}}C=C^{\text{T}}A}$

${\displaystyle D^{\text{T}}B=B^{\text{T}}D.}$

• З попереднього випливає, що квадратна матриця порядку 2 є симплектичною тоді і тільки тоді коли її визначник рівний 1.
• В попередніх позначеннях обернена матриця рівна

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.}$

• ${\displaystyle -\delta _{ij}=\sum _{k=1}^{n}m_{k,i+n}m_{n+k,j}-m_{n+k,i+n}m_{n,j}-m_{k,i}m_{n+k,j}+m_{k,i}m_{k,j}}$
• При заміні базису, що задається матрицею ${\displaystyle A}$, відбувається перетворення матриці

${\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}$

і нові симплектичні матриці пов'язані зі старими через перетворення.

${\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.}$

• Для додатноозначеної дійсної симплектичної матриці M існує матриця U у множині U(2n,R), для якої

${\displaystyle M=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}$
де діагональні елементи матриці D є власними значеннями матриці M.[1]

• Для довільної дійсної симплектичної матриці M полярний розклад рівний [1]:

${\displaystyle M=UR\quad {\text{for}}\quad U\in \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} ){\text{ and }}R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}$

• Довільна дійсна симплектична матриця є добутком трьох матриць:

${\displaystyle M=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',}$
such де O і O' є одночасно симплектичними і ортогональними і D є додатноозначеною і діагональною.[2].

Див. також

• Симплектичний простір

Примітки

1. "Symplectic Group".
2. Ferraro et. al., 2005 Section 1.3.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Symplectic matrix на PlanetMath
• The characteristic polynomial of a symplectic matrix is a reciprocal polynomial на PlanetMath