Ермітова форма

Ермітова форма (ермітово-симетрична напівбілінійна форма) — визначена в векторному просторі ${\displaystyle \ L}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексних чисел функція двох аргументів ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, що приймає значення з поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$ і має властивості:

• напівбілінійність(чи сесквілінійність):

${\displaystyle \langle x+y,z+w\rangle =\langle x,z\rangle +\langle x,w\rangle +\langle y,z\rangle +\langle y,w\rangle \qquad x,y,z,w\in L}$

${\displaystyle \langle ax,by\rangle ={\bar {a}}b\langle x,y\rangle \qquad a,b\in \mathbb {C} }$

• ермітова-симетричність:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$

Із властивості ермітової симетричності випливає, що ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ є дійсним числом.

В випадку виконання додаткової умови

• ${\displaystyle \forall x\in L\setminus \{0\}\qquad \langle x,x\rangle >0}$

форма називається додатньо-визначенною ермітовою формою чи ермітовим скалярним добутком.

Див. також

• Білінійна форма
• Квадратична форма

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)

Портал «Математика»