Ермітів скалярний добуток

Ермітів скалярний добуток (додатньо-визначена ермітова форма) — комплексний аналог скалярного добутка.

Якщо ${\displaystyle \ V}$ — комплексний векторний простір. Ермітів скалярний добуток на ${\displaystyle \ V}$ — це сесквілінійне, ермітово-симетричне та позитивно-означене відображення

${\displaystyle V\times V\to \mathbb {C} ,\quad u,v\mapsto (u,v).}$

Це означає, що виконуються такі властивості:

• ${\displaystyle (\lambda u_{1}+u_{2},v)={\bar {\lambda }}(u_{1},v)+(u_{2},v),\quad (u,\lambda v_{1}+v_{2})=\lambda (u,v_{1})+(u,v_{2}),\qquad u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in V,\;\;\lambda \in \mathbb {C} }$ (сесквілінійність)
• ${\displaystyle (u,v)={\overline {(v,u)}}\qquad u,v\in V}$ (ермітова симетрія)
• ${\displaystyle \ (u,u)>0}$ для ${\displaystyle u\neq {\vec {0}}}$ (позитивна означеність)

Норма в Ермітовому просторі просторі задається як:

${\displaystyle \|v\|={\sqrt {|\langle v,v\rangle |}}.}$

Див. також

• Скалярний добуток
• Ермітова форма
• Ермітів простір
• Гільбертів простір

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)