Фундаментальна область

Фундаментальною областю групи рухів G називається така множина F точок простору, що для будь-якої точки x простору є рівно одна точка її G-орбіти в F.

Квадрат ${\displaystyle [0,1)\times [0,1)}$ є фундаментальною областю ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ по відношенню до групи ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.

Точку ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ можна записати у вигляді ${\displaystyle (u+n,v+m)}$ з ${\displaystyle (u,v)\in [0,1)\times [0,1),(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}$.

Ґратка на комплексній площині та її фундаментальна область (фактор-простір — тор).

Якщо задано дію групи ${\displaystyle G}$ на топологічному просторі X за допомогою гомеоморфізмів, фундаментальна область для таких дій — це множина ${\displaystyle D}$ представників орбіт. Звичайно потрібно, щоб ця множина була топологічно простою і задавалася одним з кількох конкретних способів. Звичайна умова — щоб ${\displaystyle D}$ була майже відкритою множиною в тому сенсі, що ${\displaystyle D}$ має бути симетричною різницею відкритої множини в ${\displaystyle G}$ зі множиною нульової міри для деякої (квазі) інваріантної міри на ${\displaystyle X}$. Фундаментальна область завжди містить вільну регулярну множину ${\displaystyle U}$, відкриту множину, яка пересувається дією ${\displaystyle G}$ в незв'язні копії і майже так само, як ${\displaystyle D}$, є орбітами. Часто потрібно, щоб ${\displaystyle D}$ було повною множиною представників суміжних класів із деякими повтореннями, але щоб повторювана частина мала нульову міру. Це звичайна ситуація в ергодичних теоріях. Якщо фундаментальна область використовується для обчислення інтеграла на ${\displaystyle X/G}$, множина нульової міри ролі не грає.

Наприклад, якщо ${\displaystyle X}$ є евклідовим простором ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ розмірності ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle G}$ — ґратка ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, що діє на ній як паралельне перенесення, фактор-прострором ${\displaystyle X/G}$ буде ${\displaystyle n}$-вимірний тор. Можна взяти за фундаментальну область ${\displaystyle D[0,1)^{n}}$, що відрізняється від відкритої множини ${\displaystyle (0,1)^{n}}$ на множину нульової міри, або замкнутий одиничний куб ${\displaystyle [0,1]^{n}}$, межа якого складається з точок, орбіти яких мають більше одного представника в ${\displaystyle D}$.

Див. також

• Фундаментальна група

Джерела

• Fundamental Domain