Грубо кажучи, топологічний простір — це геометричний об'єкт, а гомеоморфізм — це неперервне розтягування і вигинання об'єкта в нову форму. Таким чином, квадрат і коло гомеоморфні один одному, а сфера і тор — ні. Однак цей опис може бути хибним. Деякі неперервні деформації не є гомеоморфізмами, наприклад, деформація прямої в точку. Деякі гомеоморфізми не є неперервними деформаціями, наприклад, гомеоморфізм між вузлом трилисника і колом. Часто повторюваний математичний жарт полягає в тому, що топологи не можуть відрізнити чашку кави від пончика,[3] оскільки досить пластичному пончику можна надати форму чашки для кави, створивши ямку та поступово збільшуючи її, зберігаючи при цьому отвір для пончика в ручці чашки.
Функція називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також і неперервні.
Простори та у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.
Гомеоморфізм іноді називають взаємно неперервною функцією. Якщо така функція існує, то простори та є гомеоморфними. Автогомеоморфізм — це гомеоморфізм з топологічного простору на себе. Бути гомеоморфним — це відношення еквівалентності на топологічних просторах. Такі класи еквівалентності називаються гомеоморфними класами.
Властивості
Два гомеоморфні простори мають однакові топологічні властивості[en]. Наприклад, якщо один з них компактний, то і другий також компактний; якщо один з них зв'язний, то й другий також зв'язний; якщо один з них хаусдорфів, то й інший також хаусдорфів; їхні гомотопічні та гомологічні групи співпадають. Варто зауважити, що це не поширюється на властивості, які визначені за допомогою метрики; існують метричні простори, які є гомеоморфними, хоча один з них є повним, а інший — ні.
Будь-який автогомеоморфізм на можна розширити до автогомеоморфізму на усьому диску Трюк Александра[en].
Приклади
Довільний відкритий інтервал гомеоморфний всій числовій прямій . Гомеоморфізм задається, наприклад, формулою
Одиничний двовимірний диск[en] і одиничний квадрат в є гомеоморфними, оскільки одиничний диск можна деформувати в одиничний квадрат. Прикладом взаємно неперервного відображення квадрату в диск в полярних координатах є
Стереографічна проєкція — це гомеоморфізм між одиничною сферою в з вилученою точкою і сукупністю всіх точок двовимірної площини.
Якщо — топологічна група, то її відображення інверсії є гомоморфізмом.
Також для будь-яких лівий зсув , правий зсув , і внутрішній автоморфізм є гомеоморфізмами.
Приклади відсутності гомеоморфізму
і не є гомоморфізмом при .
Евклідова дійсна пряма негомеоморфна одиничному колу як підпростору , оскільки одиничне коло є компактом як підпростір евклідового простору , а дійсна пряма лінія не є компактом.
Одновимірні інтервали і не є гомеоморфними, оскільки неможливо побудувати неперервну бієкцію.[4]
Теорема про гомеоморфізм
Нехай — інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).
Тоді є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли є строго монотонна і неперервна на .
Зауваження
Третя умова щодо неперервності відображення є суттєвою. Розглянемо, наприклад, функцію ( — одиничне коло в ) визначену як .
Ця функція є бієктивною і неперервною, але не є гомеоморфізмом компактом, а — ні).
Функція не є неперервною в точці тому, що хоча відображає в , але будь-який окіл цієї точки також включає точки, які функція відображає в точки близькі до . При цьому точки, які вона відображає у числа між ними, лежать за межами цього околу.[5]
Гомеоморфізми — це ізоморфізм в .
Таким чином, композиція двох гомеоморфізмів знову є гомеоморфізмом, і множина всіх автогомеоморфізмів утворює групу, яку називають групою гомеоморфізмів[en] топологічного простору , яку часто позначають .
На цій групі можна задати топологію, наприклад, компактно-відкриту топологію, яка за певних припущень робить її топологічною групою.[6]
Для деяких цілей гомоморфічна група виявляється занадто великою, але за допомогою ізотопічного співвідношення можна звести цю групу до групи класів відображень[en].
Аналогічно, як зазвичай в теорії категорій, для заданих двох гомеоморфних просторів простір гомеоморфізмів між ними є торсором[en] для груп гомеоморфізмів і і, враховуючи певний гомеоморфізм між і , всі три множини є ідентифікованими.
Неформальна дискусія
Інтуїтивний критерій розтягування, згинання, розрізання та зворотнього склеювання вимагає певної практики для правильного застосування, з опису вище — може бути неочевидним, наприклад, що деформація відрізка прямої до точки неприпустима.
Тому важливо розуміти, що це має наведене вище формальне означення.
У цьому випадку, наприклад, відрізок прямої має нескінченну кількість точок, і тому для нього не можна побудувати бієкцію з множиною, що містить лише скінченну кількість точок, зокрема і одну точку.
Така характеристика гомеоморфізму часто призводить до плутанини з поняттям гомотопії, яка насправді визначається, як неперервна деформація, але від однієї функції до іншої, а не від одного простору до іншого.
У випадку гомеоморфізму уявлення про неперервну деформацію — це розумовий інструмент для відстеження того, які точки простору відповідають яким точкам простору — потрібно лише слідкувати за ними по мірі деформації простору .
У випадку гомотопії неперервна деформація від одного відображення до іншого має істотне значення, і воно також менш обмежувальне, оскільки жодне із залучених відображень не повинне бути один-до-одного або на.
Гомотопія дійсно призводить до відношення на просторах: гомотопічна еквівалентність.
Існує назва для виду деформації, пов'язаної з візуалізацією гомеоморфізму. Це (за винятком випадків, коли потрібні розрізати та повторно склеювати) ізотопія між тотожним відображенням на та гомеоморфізмом з в .