Топологічна спряженість

У теорії динамічних систем ${\displaystyle (X,f)}$ динамічну систему називають топологічно спряженою динамічній системі ${\displaystyle (Y,g)}$, якщо знайдеться такий гомеоморфізм ${\displaystyle h:X\to Y}$, що ${\displaystyle g\circ h=h\circ f}$, або, що те саме,

${\displaystyle g=h\circ f\circ h^{-1}.}$

Іншими словами, (неперервна) заміна координат ${\displaystyle y=h(x)}$ перетворює динаміку ітерацій f на X динаміку ітерацій g на Y.

Регулярність спрягального відображення

Варто відзначити, що навіть у випадку, коли X і Y — многовиди, а відображення f і g гладкі (або навіть аналітичні), відображення h досить часто виявляється лише неперервним. Так, гладке спряження не може змінити значення мультиплікаторів у нерухомій або періодичній точці; навпаки, для структурно стійких подвоєння кола або дифеоморфізму Аносова двовимірного тора періодичні точки всюди щільні, а типове збурення змінює всі ці мультиплікатори.

Втім, поєднання гіперболічних відображень виявляється гельдеровим, а поєднання гладких або аналітичних дифеоморфізмів кола з діофантовим числом обертання також виявляється, відповідно, гладким або аналітичним.

У разі, якщо відображення h виявляється гельдеровим, (${\displaystyle C^{r}}$-)гладким або аналітичним, кажуть відповідно про гельдерову, (${\displaystyle C^{r}}$-)гладку або аналітичну спряженість.

Література

• Каток А. Б.^[ru], Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — С. 70—83. — ISBN 5-88688-042-9.