Дев'ятигранник

Тривимірний асоціедр[en] як приклад дев'ятигранника

Дев'ятигранник (іноді використовується назва еннеаедр) — це многогранник із дев'ятьма гранями. Існує 2606 видів опуклих дев'ятигранників, кожен з яких має свою унікальну конфігурацію вершин, ребер та граней. Жоден із цих многогранників не є правильним.

Приклади

Найвідомішими дев'ятигранниками є восьмикутна піраміда та семикутна призма[en]. Семикутна призма є однорідним многогранником з двома правильними семикутними та сімома квадратними гранями. Восьмикутна піраміда має вісім рівнобедрених трикутних граней навколо правильної восьмикутної основи. Два інших дев'ятигранники також можна знайти серед правильногранних многогранників — це подовжена чотирикутна піраміда[ru] і подовжена трикутна біпіраміда[ru]. Тривимірний асоціедр[en], майже многогранник Джонсона[en] зі сімома п'ятикутними гранями і трьома чотирикутними гранями, є дев'ятигранником. П'ять правильногранних многогранників мають дев'ятигранні двоїсті тіла, це трисхилий купол, скручена подовжена чотирикутна піраміда, самодвоїста подовжена чотирикутна піраміда, тричі нарощена трикутна призма[en] (двоїста асоціедру) і тричі відсічений ікосаедр. Ще один дев'ятигранник — відсічений трапецоедр[en] із квадратною основою і 4 дельтоїдними та 4 трикутними гранями.

Семикутна призма[en] Подовжена чотирикутна піраміда Подовжена трикутна біпіраміда
Тіло, двоїсте трисхилому куполу Тіло, двоїсте скрученій подовженій чотирикутній піраміді Тіло, двоїсте тричі відсіченому ікосаедру
Квадратний відсічений трапецоедр[en] Зрізана трикутна біпіраміда, майже многогранник Джонсона, і асоціедр[en] Дев'ятигранник Гершеля

Граф Гершеля представляє вершини та ребра дев'ятигранника Гершеля (див. вище), усі грані якого чотирикутні. Це найпростіший многогранник без гамільтонового циклу, єдиний дев'ятигранник, у якому всі грані мають однакову кількість ребер, і один зі всього трьох двочасткових дев'ятигранників.

Два найменші можливі ізоспектральні поліедральні графи є графами дев'ятигранників

Найменша пара ізоспектральних поліедральних графів є дев'ятигранниками з вісьмома вершинами в кожному[1].

Дев'ятигранники, що заповнюють простір

Базиліка Діви Марії (Маастрихт)[en], верх вежі якої утворює многогранник, що заповнює простір

Розтин ромбододекаедра навпіл через довгі діагоналі чотирьох його граней дає самодвоїстий дев'ятигранник, квадратний відсічений трапецоедр[en] з однією великою квадратною гранню, чотирма ромбічними гранями і чотирма рівнобедреними трикутними гранями. Подібно до самого ромбічного додекаедра, це тіло можна використати для замощення тривимірного простору[2]. Подовжений варіант цього тіла, що залишається здатним замощувати простір, можна побачити на вершині задньої сторони веж романської базиліки Діви Марії XII століття. Самі вежі з їхніми чотирма п'ятикутними сторонами (стінами), чотирма гранями даху та квадратною основою утворюють інший дев'ятигранник, що заповнює простір.

Голдберг[3] знайшов щонайменше 40 топологічно різних дев'ятигранників, які заповнюють простір[4].

Топологічно різні дев'ятигранники

Існує 2606 топологічно різних опуклих дев'ятигранників, за винятком дзеркальних відображень. Їх можна розбити на підмножини з 8, 74, 296, 633, 768, 558, 219, 50 дев'ятигранників із числом вершин від 7 до 14 відповідно[5]. Таблицю цих чисел разом із детальним описом дев'ятивершинних дев'ятигранників першим опублікував у 1870-х роках Томас Кіркман[6].

Примітки

  1. ↑ Hosoya, Nagashima, Hyugaji, 1994, с. 428–431.
  2. ↑ Critchlow, 1970, с. 54.
  3. ↑ Goldberg, 1982.
  4. ↑ Goldberg, 1982, с. 297–306.
  5. ↑ Counting polyhedra. Numericana (англ.). Архів оригіналу за 20 серпня 2020.
  6. ↑ Biggs, 1981, с. 97–120.

Література

  • Haruo Hosoya, Umpei Nagashima, Sachiko Hyugaji. Topological twin graphs. Smallest pair of isospectral polyhedral graphs with eight vertices // Journal of Chemical Information and Modeling. — 1994. — Т. 34, вип. 2. — С. 428–431. — DOI:10.1021/ci00018a033.
  • Keith Critchlow. Order in space: a design source book. — Viking Press, 1970. — С. 54.
  • Michael Goldberg. On the space-filling enneahedra // Geometriae Dedicata. — 1982. — Т. 12, вип. 3. — С. 297–306. — DOI:10.1007/BF00147314.
  • Biggs N.L. T.P. Kirkman, mathematician // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1981. — Т. 13, вип. 2. — С. 97–120. — DOI:10.1112/blms/13.2.97.

Посилання