Багатогранний граф

Багатогранний граф, утворений як діаграма Шлегеля з правильного додекаедра.

Багатогра́нний граф, або поліедра́льний граф — неорієнтований граф, утворений з вершин і ребер опуклого многогранника, або, в контексті теорії графів — 3-вершинно-зв'язний планарний граф.

Опис

Діаграма Шлегеля опуклого многогранника подає його вершини і ребра як точки і відрізки на евклідовій площині, утворюючи розбиття зовнішнього опуклого багатокутника на дрібніші опуклі багатокутники. Діаграма не має самоперетинів, так що будь-який багатогранний граф є планарним. Крім того, за теоремою Балінського^[ru], цей граф є 3-вершинно-зв'язним.

Згідно з теоремою Штайніца цих двох властивостей достатньо, щоб повністю описати багатогранні графи — це є саме 3-вершинно-зв'язні планарні графи. Таким чином, якщо граф і планарний, і 3-вершинно-звязний, існує многогранник, вершини і ребра якого утворюють граф, ізоморфний початковому[1][2]. Якщо задано такий граф, подання його у вигляді розбиття опуклого багатокутника на менші опуклі багатокутники може бути знайдене за допомогою вкладення Татта[3].

Гамільтоновість і показник короткості

Тейт висловив гіпотезу, що будь-який кубічний багатогранний граф (тобто багатогранний граф, у якому кожна вершина інцидентна рівно трьом ребрам) має гамільтонів цикл, але цю гіпотезу було спростовано Вільямом Таттом, який побудував контрприклад — багатогранний негамільтонів граф (граф Татта). Якщо послабити умову, що граф повинен бути кубічним, з'явиться багато інших менших за розмірами негамільтонових багатогранних графів, один з них, який має 11 вершин і 18 ребер — граф Гершеля[4]. Існує також негамільтонів багатогранний граф з 11 вершинами, в якому всі грані трикутні — граф Голднера — Харарі[5].

Строго кажучи, існує константа ${\displaystyle \alpha <1}$ (показник короткості) і нескінченна родина багатогранних графів, таких що довжина найдовшого простого шляху графу з ${\displaystyle n}$ вершинами в родині дорівнює ${\displaystyle O(n^{\alpha })}$[6][7].

Комбінаторне перерахування

У 1996 році визначено число багатогранних графів, що мають до 26 ребер[8], зокрема, число таких графів з 6, 7, …, 21 ребрами дорівнює:

1, 0, 1, 2, 2, 4, 12, 22, 58, 158, 448, 1342, 4199, 13384, 43708, 144810[9].

Можна також перерахувати багатогранні графи за кількістю їхніх вершин, число таких графів дорівнює:

1, 2, 7, 34, 257, 2606, 32300, 440564, 6384634, 96262938, 1496225352, …[10].

Спеціальні випадки

Багатогранний граф — граф простого многогранника, якщо він є кубічним (в кожній вершині сходяться три ребра), і це граф симпліційного многогранника, якщо він є максимальним планарним графом. Графи Халіна, утворені з планарних дерев шляхом додавання зовнішнього циклу, що проходить через всі листки дерева, утворюють інший важливий підклас багатогранних графів.

Примітки

1. Günter M. Ziegler. Lectures on Polytopes. — 1995. — С. 103, Глава 4 "Steinitz' Theorem for 3-Polytopes". — ISBN 0-387-94365-X.
2. Branko Grünbaum. Convex Polytopes. — Springer-Verlag, 2003. — Т. 221. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-40409-7.
3. W. T. Tutte. How to draw a graph // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1963. — Т. 13. — С. 743–767. — DOI:10.1112/plms/s3-13.1.743.
4. Weisstein, Eric W. Граф Гершеля(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
5. Weisstein, Eric W. Goldner-Harary Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
6. Weisstein, Eric W. Shortness Exponent(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
7. Branko Grünbaum, T. S. Motzkin. Longest simple paths in polyhedral graphs // Journal of the London Mathematical Society. — 1962. — Т. s1-37, вип. 1. — С. 152–160. — DOI:10.1112/jlms/s1-37.1.152.
8. A. J. W. Duijvestijn. The number of polyhedral (3-connected planar) graphs // Mathematics of Computation. — 1996. — Т. 65. — С. 1289–1293. — DOI:10.1090/S0025-5718-96-00749-1.
9. послідовність A002840 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
10. послідовність A000944 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Посилання

• Weisstein, Eric W. Polyhedral Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.