Дельтоїд

Дельтоїд
Опуклий та неопуклий дельтоїди
Вид	Чотирикутник
Ребра і вершини	4
Група симетрії^[en]	D1^[en] (*), порядок 2. (Симетрія відбиття)
Дуальний багатокутник^[en]	Рівнобічна трапеція
Властивості	Тангенціальний (Описується навколо кола), ортодіагональний.

В евклідовій геометрії дельтоїд — плоский чотирикутник, у якому дві пари суміжних сторін мають рівні довжини.

Дельтоїд є чотирикутником з симетрією відбиття відносно однієї з його діагоналей. Оскільки дельтоїд має щонайменше одну вісь симетрії, що проходить через його діагональ, то він має щонайменше два рівних протилежних кути і дві пари рівних суміжних сторін.

Дельтоїд може бути опуклим, а також неопуклим чотирикутником. Неопуклий дельтоїд також має назву дарт (дротик)[1].

Дельтоїди двох типів (опуклий і неопуклий) формують одну з плиток мозаїки Пенроуза.

Також дельтоїди є гранями кількох гранетранзитивних багатогранників, зокрема: дельтоїдального ікосотетраедра (його грані дельтоїди з трома рівними внутрішніми кутами), дельтоїдального гексеконтаедра та трапецоедрів. [2]

Окремі випадки

Окремими випадками дельтоїдів є:

• прямокутний дельтоїд — опуклий дельтоїд, у якого два протилежні рівні кути прямі;

• ромб — опуклий дельтоїд, у якого всі сторони рівні, протилежні кути рівні, протилежні сторони паралельні; ромб також є окремим випадком паралелограма;

• квадрат — опуклий дельтоїд, у якого всі сторони рівні, всі кути рівні і прямі; квадрат є окремим випадком ромба.

Рівнодіагональний дельтоїд, що вписується в трикутник Рело

• Серед усіх чотирикутників, чотирикутник, що має максимальне відношення периметра до діаметра (максимальна відстань між двома точками даної фігури), — це рівнодіагональний дельтоїд з кутами 60°, 75°, 150°, 75°. Його чотири вершини лежать у трьох кутах і середині однієї із сторін трикутника Рело.[3] [4]

Коли рівнодіагональний дельтоїд має довжину сторін, меншу або рівну його діагоналям (наприклад, як цей дельтоїд або квадрат), то він є одним із чотирикутників із найбільшим співвідношенням площі до діаметра.[5]

Властивості

Властивості дельтоїда

• Дельтоїд, який не є ромбом, має одну вісь симетрії.
• Кути між сторонами різної довжини рівні.
• Прямі, що містять діагоналі дельтоїда перпендикулярні, тобто дельтоїди є ортодіагональними чотирикутниками.
• Точка перетину діагоналей дельтоїда ділить одну з них навпіл. Друга діагональ (та, що є віссю симетрії) є бісектрисою протилежних кутів. У ромба обидві діагоналі точкою перетину діляться навпіл і є бісектрисами протилежних кутів.
• Одна діагональ ділить дельтоїд на два рівні трикутники. Друга діагональ ділить дельтоїд на два рівнобедрених трикутники, якщо він опуклий, і добудовує його рівнобедреним трикутником до рівнобедреного трикутника, якщо він неопуклий.

Бімедіани дельтоїда (GE і HF) та хорди вписаного кола, що сполучають точки дотику (MQ і NR)

• Паралелограм Вариньона дельтоїда, вершини якого збігаються із серединами сторін дельтоїда (EFGH на мал.), є прямокутником, сторони якого паралельні діагоналям дельтоїда. Зокрема, якщо цей прямокутник є квадратом, то діагоналі дельтоїда рівні, а відрізки, що з'єднують середини протилежних сторін перпендикулярні між собою.
• Точка перетину бімедіан дельтоїда (відрізки, що сполучають середини протилежних сторін) лежить на його діагоналі.
• Чотирикутник, вершинами якого є точки дотику вписаного кола зі сторонами дельтоїда (MNQR на мал.), є рівнобедреною трапецією.
• Хорди вписаного кола, що сполучають його точки дотику зі сторонами дельтоїда, перетинаються в точці перетину діагоналей дельтоїда. Також вони мають однакову довжину.

Дельтоїд є описаним та зовні-описаним чотирикутником

• У будь-який опуклий дельтоїд можна вписати коло; крім цього, якщо дельтоїд не є ромбом, то існує коло, яке дотикається до продовжень всіх чотирьох сторін. Тобто будь-який опуклий дельтоїд (окрім ромба) є одночасно описаним та зовні-описаним чотирикутником. Центри вписаного та зовні-вписаного кіл лежать на прямій, що містить діагональ дельтоїда.

Для неопуклого дельтоїда можна побудувати коло, що дотикається до двох більших сторін і продовжень двох менших сторін і коло, що дотикається до двох менших сторін і продовжень двох більших сторін.

Прямокутний дельтоїд є біцентричним чотирикутником.

• Прямокутний дельтоїд (у якого два протилежні кути — прямі) є біцентричним чотирикутником, тобто є одночасно вписаним та описаним чотирикутником; а також і зовні-описаним чотирикутником. Центри вписаного, описаного та зовні-вписаного кіл лежать на діагоналі дельтоїда.

Формули

Для дельтоїда справедливі наступні формули:

Формули для дельтоїда
Довжини сторін	${\displaystyle a=d,\quad b=c}$
Периметр	${\displaystyle P=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)}$
Площа	${\displaystyle S={\frac {e\cdot f}{2}}}$ [6]
	${\displaystyle S=a\cdot b\cdot \sin(\beta )}$
	${\displaystyle S=\left(a+b\right)r}$ де r — радіус вписаного кола.
	${\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}\cdot \left(a^{2}\sin \alpha +b^{2}\sin \gamma \right)}$
Довжини діагоналей	${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}}$ (за теоремою косинусів)
	${\displaystyle f={\frac {2\cdot S}{e}}={\frac {4\cdot S_{ABC}}{e}}={\frac {4\cdot {\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-e)}}}{e}}}$, де ${\displaystyle s={\frac {a+b+e}{2}}}$
	${\displaystyle f=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot b\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}$
Радіус вписаного кола	${\displaystyle r={\frac {2\cdot S}{P}}={\frac {e\cdot f}{2\cdot (a+b)}}}$
Радіус зовні-вписаного кола	${\displaystyle \rho ={\frac {e\cdot f}{2\cdot \left\vert a-b\right\vert }}}$ [7]
Внутрішні кути (див. теорему косинусів)	${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {2\cdot a^{2}-f^{2}}{2\cdot a^{2}}}\right)}$
	${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {2\cdot b^{2}-f^{2}}{2\cdot b^{2}}}\right)}$
	${\displaystyle \beta =\delta =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-e^{2}}{2\cdot a\cdot b}}\right)}$

Двоїстість

Дельтоїд та двоїста до нього рівнобічна трапеція.

Дельтоїди та рівнобедрені трапеції є двоїстими один до одного чотирикутниками, що означає, що між ними існує відповідність, яка змінює елементи їх частин на протилежні, перетворюючи вершини на сторони, а сторони — на вершини.

У будь-якого дельтоїда вписане в нього коло дотикається до чотирьох його сторін у точках, що є вершинами рівнобедреної трапеції.

Для будь-якої рівнобедреної трапеції дотичні лінії до описаного кола в чотирьох вершинах утворюють чотири сторони дельтоїда. Цю відповідність також можна розглядати як приклад полярного перетворення, загального методу для відповідності точок лініям і навпаки, якщо задано фіксоване коло. Чотири вершини дельтоїда в цьому сенсі взаємні чотирьом сторонам рівнобедреної трапеції. [8]

Характеристики дельтоїдів і рівнобедрених трапецій, які відповідають одна одній за цієї двоїстості, порівнюються в таблиці нижче.[9]

Рівнобічна трапеція	Дельтоїд
Дві пари рівних сусідніх кутів	Дві пари рівних сусідніх сторін
Дві рівні протилежні сторони	Два рівних протилежних кута
Дві протилежні сторони мають спільний перпендикуляр, що проходить через їх середини	Два протилежні кути мають спільну бісектрису
Вісь симетрії проходить через протилежні сторони	Вісь симетрії проходить через протилежні кути
Має описане коло	Має вписане коло

Паркети з дельтоїдами

Рекурсивна конструкція мозаїки Пенроуза з опуклого та неопуклого дельтоїдів

Фрактальна розетка дельтоїдів Пенроуза

Опуклий дельтоїд з кутами 72°, 72°, 72°, 144° та неопуклий дельтоїд з кутами 36°, 72°, 36°, 216° формують одну з плиток мозаїки Пенроуза, аперіодичної плоскої мозаїки, відкритої фізиком-математиком Роджером Пенроузом. [10]

Коли дельтоїд має кути, які при його вершинах на одній стороні сумарно дорівнюють ${\displaystyle \pi (1-{\tfrac {1}{n}})}$ для деякого натурального числа 𝑛 , тоді масштабованими копіями цього дельтоїда можна замостити площину фрактальною розеткою, у якій центральна точка послідовно оточується все більшими кільцями з 𝑛 дельтоїдів. [11] Ці розетки можна використовувати для вивчення явища непружного колапсу, коли система рухомих частинок, що стикаються при непружних зіткненнях, об’єднується в одній точці.[12]

V4.3.4.6

Виявлений у 2023 році аперіодичний монопаркет, що розв’язує задачу однієї плитки, складається з 8 дельтоїдів із дельтоїдальної тригексагональної плитки. [13]

Дельтоїд з кутами 60°, 90°, 120°, 90° також може утворити паркет, яким можна замостити площину; при відзеркаленні дельтоїда відносно його ребер утворюється дельтоїдальна тригексагональна плитка, що замощує площину правильними шестикутниками та рівносторонніми трикутниками. [7]

Примітки

1. Charter, Kevin; Rogers, Thomas (1993), The dynamics of quadrilateral folding, Experimental Mathematics, 2 (3): 209—222, doi:10.1080/10586458.1993.10504278, MR 1273409
2. Grünbaum, B. (1960), On polyhedra in ${\displaystyle E^{3}}$ having all faces congruent, Bulletin of the Research Council of Israel, 8F: 215–218 (1960), MR 0125489
3. Ball, D. G. (1973), A generalisation of ${\displaystyle \pi }$, The Mathematical Gazette, 57 (402): 298—303, doi:10.2307/3616052, JSTOR 3616052, S2CID 125396664
4. Griffiths, David; Culpin, David (1975), Pi-optimal polygons, The Mathematical Gazette, 59 (409): 165—175, doi:10.2307/3617699, JSTOR 3617699, S2CID 126325288
5. Audet, Charles; Hansen, Pierre; Svrtan, Dragutin (2021), Using symbolic calculations to determine largest small polygons, Journal of Global Optimization, 81 (1): 261—268, doi:10.1007/s10898-020-00908-w, MR 4299185, S2CID 203042405
6. Beamer, James E. (May 1975), The tale of a kite, The Arithmetic Teacher, 22 (5): 382—386, doi:10.5951/at.22.5.0382, JSTOR 41188788
7. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), Section 3.4: Kites, A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, т. 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, с. 73—78, ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138; see also antiparallelograms, p. 212
8. Robertson, S. A. (1977), Classifying triangles and quadrilaterals, The Mathematical Gazette, 61 (415): 38—49, doi:10.2307/3617441, JSTOR 3617441, S2CID 125355481
9. De Villiers, Michael (2009), Some Adventures in Euclidean Geometry, Dynamic Mathematics Learning, с. 16, 55, ISBN 978-0-557-10295-2
10. Gardner, Martin (January 1977), Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles, Mathematical Games, Scientific American, т. 236, № 1, с. 110—121, Bibcode:1977SciAm.236a.110G, doi:10.1038/scientificamerican0177-110, JSTOR 24953856
11. Fathauer, Robert (2018), Art and recreational math based on kite-tiling rosettes, у Torrence, Eve; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo; Fenyvesi, Kristóf (ред.), Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, с. 15—22, ISBN 978-1-938664-27-4
12. Chazelle, Bernard; Karntikoon, Kritkorn; Zheng, Yufei (2022), A geometric approach to inelastic collapse, Journal of Computational Geometry, 13 (1): 197—203, doi:10.20382/jocg.v13i1a7, MR 4414332
13. Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (19 березня 2023). An aperiodic monotile. arXiv:2303.10798 [cs, math]. Процитовано 27 березня 2023.

Література

• Josefsson, Martin (2011), When is a tangential quadrilateral a kite? (PDF), Forum Geometricorum, 11: 165—174
• Josefsson, Martin (2012), Maximal area of a bicentric quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 12: 237—241, MR 2990945
• Jepsen, Charles H.; Sedberry, Trevor; Hoyer, Rolf (2009), Equidissections of kite-shaped quadrilaterals (PDF), Involve: A Journal of Mathematics, 2 (1): 89—93, doi:10.2140/involve.2009.2.89, MR 2501347
• Suay, Juan Miguel; Teira, David (2014), Kites: the rise and fall of a scientific object (PDF), Nuncius (journal), 29 (2): 439—463, doi:10.1163/18253911-02902004

Посилання

• Дельтоїд // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Weisstein, Eric W. Kite(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Kite(англ.) на сайті Polytope Wiki.
• Kite (англ.)
• Area of a Kite (англ.) Формули площі та інтерактивна анімація.