Дванадцятигранник

Деякі найбільш відомі додекаедри
I_h^[en], порядок 120
Правильний додекаедр	Малий зірчастий додекаедр	Великий додекаедр	Великий зірчастий додекаедр

T_h, порядок 24	T, порядок 12	O_h^[en], порядок 48	Многогранник Джонсона (J₈₄)
Піритоедр	Тетартоїд	Ромбододекаедр	Кирпатий двоклиноїд^[en]

D_4h^[en], порядок 16		D_3h^[en], порядок 12
Ромбо-шестикутний додекаедр^[en]	Ромбо-квадратний додекаедр	Ромбо-трапецоїдний додекаедр^[en]	Ромбо-трикутний додекаедр

Дванадцятигранник або додекаедр (дав.-гр. δωδεκάεδρον (dōdekáedron) ; від грец. δώδεκα (dṓdeka) — дванадцять і грец. ἕδρα (hédra) — грань) — довільний многогранник із дванадцятьма гранями.

Існує 6 384 634 топологічно різних опуклих додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом дзеркального відбиття, з кількістю вершин від 8 до 20.^[1]

(Два многогранники вважають "топологічно різними", якщо вони мають різну структуру розташування граней і вершин, так що неможливо перетворити один в інший, просто змінивши довжини ребер або кути між ребрами чи гранями).

Найбільш відомий додекаедр — це правильний додекаедр, всі грані якого є правильними п'ятикутниками. Він є найбільш симетричним з усіх опуклих додекаедрів, має ікосаедричну симетрію^[en] I_h, порядок 120.

Деякі додекаедри мають таку ж комбінаторну структуру, як і правильний додекаедр (в сенсі графа, утвореного його вершинами і ребрами), але їх п'ятикутні грані не є правильними:

— піритоедр, поширена кристалічна форма піриту, має піритоедричну симетрію T_h,

— тетартоїд має хіральну тетраедричну симетрію T.

Ромбододекаедр можна розглядати як граничний випадок піритоедра, і він має октаедричну симетрію^[en] O_h. Ромбододекаедр є паралелоедром^[en], зоноедром а також двоїстим до кубооктаедра (напівправильного многогранника Архімеда).

Ромбо-шестикутний додекаедр^[en] (або подовжений додекаедр, або гексоромбододекаедр), ромбо-трапецоїдний додекаедр^[en] а також ромбододекаедр можуть утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.

Правильний додекаедр

Докладніше: Правильний додекаедр

Опуклий правильний додекаедр є одним з п'яти правильних многогранників Платона і може бути представлений своїм символом Шлефлі як {5, 3}, тобто кожна вершина оточена трьома правильними п'ятикутними гранями.

Двоїстим многогранником до правильного додекаедра є правильний ікосаедр {3, 5}, кожна вершина якого оточена п'ятьма правильними трикутними гранями.

Опуклий правильний додекаедр має три зірчасті форми; всі три є правильними зірчастими многогранниками Кеплера — Пуансо. Їх гранями є правильні п'ятикутники та правильні пентаграми.

Зірчасті форми правильного додекаедра
Опуклий правильний додекаедр	Малий зірчастий додекаедр {5/2, 5}	Великий додекаедр {5, 5/2}	Великий зірчастий додекаедр {5/2, 3}

Характерною особливістю правильного додекаедра (також і правильного ікосаедра) є наявність в нього осей обертової симетрії 5-го порядку, які не дозволені правилами кристалографії ^[2]^:Стор.41 , тобто в природі не існує кристалів мінералів, що мають форму правильного додекаедра. Проте можна зустріти квазікристали у формі правильного додекаедра (наприклад, квазікристал гольмій — магній — цинку (Ho-Mg-Zn)). Також існують мінерали, що мають форму додекаедра з неправильними гранями (наприклад, пірит).

Додекаедри з п'ятикутними гранями

В кристалографії в деяких класах симетрії кубічної кристалічної системи можуть траплятися два основних види додекаедрів, які топологічно еквівалентні правильному додекаедру, але мають менший порядок симетрії (тобто менш симетричні): піритоедр з піритоедричною симетрією і тетартоїд з хіральною тетраедричною симетрією:

Піритоедр

Піритоедр
Натисніть тут , щоб подивитися обертання моделі
Властивості	Опуклий, гране-транзитивний
Комбінаторика
Елементи	12 п'ятикутних граней 30 ребер (6 + 24) 20 вершин (8 + 12) (3-го степеня)
Грані	12 Рівнобедрених п'ятикутників
Характеристика Ейлера	$\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2$
Класифікація
Діаграма Коксетера-Динкіна	(або o4p3p )
Група симетрії	T_h,[4,3⁺], (3*2), порядок 24 (Піритоедрична симетрія)
Група обертань	T, [3,3]⁺, (332), порядок 12
Двоїстий многогранник	Ікосаедр з піритоедричною симетрією
Розгортка

Піритоедр ^[3] ^[4] ^[5] (або пентагондодекаедр ^[6]^{:Стор.80-81} ^[7]^{:Стор.136} ,) — це додекаедр з піритоедричною симетрією (T_h). Має 12 конгруентних п'ятикутних дзеркально-симетричних граней (тобто симетричних відносно осі, що проходить через вершину і середину протилежної сторони).

Має 20 вершин, розділених на два типи; в кожній вершині сходяться три грані.

Його 30 ребер також розділені на два типи — 24 і 6 ребер однакової довжини.

Єдиними осями обертової симетрії є три взаємно перпендикулярні осі 2-го порядку та чотири осі 3-го порядку. Осі симетрії п'ятого порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути формою для кристалів. Зокрема, форму піритоедру має кристал мінералу піриту.

Кристал піриту

Кристал піриту найчастіше зустрічається у двох поширених кристалічних формах — піритоедр та куб. У піриту, що має форму піритоедру, грані мають індекс Міллера {2,1,0}, що означає, що двогранний кут становить 2·arctan(2) ≈ 126.87°, а кути кожної п'ятикутної грані становлять: кут ≈ 121,6° розташований між двома кутами ≈ 106,6° і навпроти двох кутів ≈ 102,6°. Наступні формули описують розміри граней ідеального кристала (який рідко зустрічається в природі).

${\text{Висота}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\cdot L$

${\text{Ширина}}={\frac {4}{3}}\cdot L$

$l={\sqrt {\frac {7}{12}}}\cdot L$

де $l$ — довжина короткого ребра многогранника; $L$ — довжина довгого ребра.

Природний пірит (На правому зображенні показано кути грані)

Декартові координати вершин

Вісім вершин, що формують вершини куба, вписаного в многогранник, мають координати: (±1, ±1, ±1). При цьому довжина ребер куба дорівнює 2.

Координати інших дванадцяти вершин:

(0, ±(1 + h), ±(1 − h²)), (±(1 + h), ±(1 − h²), 0) та (±(1 − h²), 0, ±(1 + h)).

де h — висота клиноподібного "даху" над гранями куба.

При h = 0 отримаємо вироджений піритоедр, що має форму куба, але з додатковими вершинами та ребрами на його гранях.

При h = 1/2 (чверть довжини ребра куба), отримаємо «бездоганний» (з геометричної точки зору) кристал природного піриту.Також в цьому випадку многогранник є піритоедром у моделі Вейра — Фелана^[en].

При h = 1/φ = √5 − 1/2= 0.618..., отримаємо правильний додекаедр.

При h = 1 отримаємо вироджений піритоедр, у якого деякі вершини збігаються, а ребра між ними зменшуються до нульової довжини; він приймає форму ромбдодекаедра.

Ортографічні проєкції піритоедру з висотою h = 12

Піритоедри з висотою h = 12 та h = 1φ

Геометричні варіації

Піритоедр має деякий ступінь свободи у геометричній будові; при цьому на одній межі маємо куб, коли певні ребра стають колінеарними одне до одного, а на іншій межі маємо ромбододекаедр, коли 6 ребер вироджуються до нульової довжини. Правильний додекаедр являє собою особливий проміжний випадок, коли всі ребра і кути рівні.

Можна перетнути ці граничні випадки, та отримати при цьому неопуклі піритоедри.

Перетнувши нижню межу опуклого піритоедру, що має вигляд куба, отримаємо неопуклі його форми; неопуклий піритоедр з рівними сторонами (ендо-додекаедр) в поєднанні з опуклим правильним додекаедром може утворювати стільники, що замощують тривимірний простір без проміжків та накладень.

Продовжуючи деформацію многогранника у цьому напрямку, ми проходимо через вироджений випадок, коли дванадцять вершин збігаються в центрі, і переходимо до правильного великого зірчастого додекаедра, в якого всі ребра і кути знову рівні, а грані приймають форму правильних пентаграм.

Перетнувши верхню межу опуклого піритоедру, що має вигляд ромбододекаедра, отримаємо неопуклий рівносторонній додекаедр з рибоподібними рівносторонніми п'ятикутними гранями з самоперетином.

Анімації

Стільники з чергуванням опуклих і увігнутих піритоедів з висотами h в межах ±1/φ	Піритоедри з висотами між h = 0 (куб) та h = 1 (ромбододекаедр)

Окремі випадки піритоедрів
Версії з висотами, що рівні по модулю але з протилежними знаками спільно утворюють стільники. (Див. анімацію). Показано співвідношення довжин ребер, а саме тих, що належать до набору з 24 ребер (що перетинаються в вершинах куба) до тих, що належать до набору з 6 ребер (відповідають граням куба).
Відношення	1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
h	−√5 + 1/2	−1	−√5 + 1/2	0	√5 − 1/2	1	√5 + 1/2
h	−1.618...	−1	−0.618...	0	0.618...	1	1.618...
Зображення	Великий зірчастий додекаедр, грані якого є правильними пентаграмами	Вироджений випадок з 12-ма вершинами многогранника в його центрі	Неопуклий рівносторонній піритоедр (додекаедр).	Куб з додатковими вершинами та ребрами на його ребрах та гранях відповідно (як показано на рисунку) є граничним випадком опуклого піритоедра.	Правильний додекаедр є проміжним випадком з рівними ребрами та кутами.	Ромбододекаедр є граничним випадком опуклого піритоедра, коли 6 його ребер зменшуються до нульової довжини.	Рівносторонній додекаедр з гранями, що мають самоперетин.

Тетартоїд

Тетартоїд Тетрагональний п'ятикутний додекаедр
Натисніть тут, щоб подивитися обертання моделі
Властивості	Опуклий, гране-транзитивний
Комбінаторика
Елементи	12 п'ятикутних граней 30 ребер (6+12+12) 20 вершин (4+4+12) (3-го степеня)
Грані	12 п'ятикутників
Характеристика Ейлера	$\chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2$
Класифікація
Позначення	gT (в нотації Конвея^[en] )
Діаграма Коксетера-Динкіна	(або p3p3p )
Група симетрії	T,[3,3]⁺, (332), порядок 12 (Хіральна тетраедрична симетрія)
Двоїстий многогранник	Ікосаедр з тетраедричною симетрією (або кирпатий тетраедр)

Тетартоїд (також тетрагональний п'ятикутний додекаедр ^[7]^{:Стор.140-141; 144} , пентагонтритетраедр ^[6]^:Стор.79 і тетраедричний пентагондодекаедр) — це додекаедр з хіральною тетраедричною симетрією (Т).

Має 12 конгруентних п'ятикутних граней.

Має 20 вершин, розділених на три типи; в кожній вершині сходяться три грані.

Його 30 ребер також розділені на три типи — 12, 12 і 6 ребер однакової довжини.

Осі обертової симетрії 5-го порядку відсутні, що дозволяє цьому многограннику бути формою для кристалів.

Назва тетартоїд має грецьке коріння, та означає "четверта частина", оскільки він має одну четверту від повної октаедричної симетрії^[en] і половину піритоедричної симетрії. ^[8]

Таку форму симетрії (пентагон-тритетраедричну) може мати мінерал кобальтин.^[9]

Тетартоїд має два вироджених граничних випадки, які топологічно еквівалентні самому многограннику та мають його симетрію. Вони являють собою з одного боку — куб з додатковими ребрами на гранях (але не колінеарними до його ребер) та додатковими вершинами на ребрах куба; з іншого боку — тетраедр, кожне ребро якого поділено на три частини і кожна з двох нових вершин з'єднується з центром грані. (В нотації многогранників Конвея^[en] це є скручений тетраедр).

Ортографічні проєкції , центровані по осям симетрії 2-го та 3-го порядку

Вироджені форми тетартоїда — кубічна та тетраедрична

Зв'язок з диакіс-додекаедром^[en]

Тетартоїд можна утворити, збільшивши розміри 12 з 24 граней диакіс додекаедра. ^[7]^{:Стор.137} ,

(Зображений тут тетартоїд отримано шляхом збільшення розмірів 24 з 48 граней гекзакісоктаедра^[en] (або дисдакіс додекаедра)).

Хіральні тетартоїди, базовою основою яких є диакіс додекаедр.

Модель кристалу праворуч являє собою тетартоїд, утворений шляхом збільшення синіх граней ядра дисдакіс додекаедра. Тому ребра між синіми гранями покрито червоними каркасними ребрами.

Декартові координати вершин

Наступні точки є вершинами п'ятикутника тетартоїда з тетраедричною симетрією:

(a, b, c); (−a, −b, c); (−nd₁, −nd₁, nd₁); (−c, −a, b); (−nd₂, nd₂, nd₂),

при наступних умовах:^[10]

0 ≤ a ≤ b ≤ c,

n = a²c − bc²,

d₁ = a² − ab + b² + ac − 2bc,

d₂ = a² + ab + b² − ac − 2bc,

nd₁d₂ ≠ 0.

Геометричні варіації

Правильний додекаедр є тетартоїдом, всі грані якого правильні п'ятикутники, тобто він має більш розширену симетрію, ніж необхідно для тетартоїда.

Триакіс тетраедр є виродженим тетартоїдом, у якого 12 ребер зменшені до нульової довжини. (На рисунку основної таблиці вище: білі вершини і зелені ребра поглинуться зеленими вершинами.)

Варіації тетартоїда від правильного додекаедра до триакіс тетраедра

Двоїстий многогранник до скрученого трисхилого біантикупола

Ще одним прикладом додекаедра з п'ятиткутними гранями є двоїстий многогранник до трисхилого повернутого біантикупола, тобто многогранника, що отриманий шляхом з'єднання двох трисхилих антикуполів основами в повернутій орієнтації.

Цей многогранник має D_3d^[en] симетрію, порядку 12. Його грані — дві групи з трьох конгруентних п'ятикутних граней розділені поясом з 6-ти конгруентних п'ятикутних граней, які поєднані між собою з чергуванням орієнтації.

Ромбододекаедр

Докладніше: Ромбододекаедр

Ромбододекаедр — це додекаедр, що має дванадцять ромбічних граней та володіє октаедричною симетрією^[en]. Він є зоноедром, а також двоїстим до квазіправильного кубооктаедра (архімедового тіла); зустрічається в природі у вигляді кристалів. Ромбододекаедр утворює стільники, що заповнюють тривимірний простір без проміжків та накладень.

Ромбододекаедр можна розглядати як вироджений піритоедр, у якого 6 певних ребер зменшені до нуля, а отже, п'ятикутники перетворюються на ромбічні грані.

Ромбододекаедр має кілька зірчастих форм, перша^[en] з яких також утворює стільник для замощення простору.

Інший важливий ромбододекаедр — додекаедр Білінського^[en], має дванадцять граней, що конгруенті граням ромботриаконтаедра, тобто діагоналі знаходяться у співвідношенні золотого перетину. Він також є зоноедром і був описаний Білінським у 1960 році. ^[11] Цим многогранником можна замостити простір без проміжків та накладень, а також він може зустрічатися в неперіодичних стільниках разом з ромботриаконтаедром, ромбоікосаедром^[en] і ромбогексаедром.^[12]

Деякі інші додекаедри

Як було зазначено вище, існує 6 384 634 топологічно різних опуклих додекаедрів, не враховуючи тих, що отримані шляхом дзеркального відбиття, з кількістю вершин від 8 до 20.^[1]

Деякі топологічно різні додекаедри (за винятком додекаедрів з п'ятикутними та ромбічними гранями):