У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Клин.
Клин у геометрії (англ.wedge) — це опуклий багатогранник, що складається з п'яти граней: двох трикутників і трьох трапецій . Клин має 9 ребер і 6 вершин. Верхнє ребро клину паралельне основі.
Клин є підкласом призматоїдів, якщо розглядати верхнє ребро як вироджену грань (у призматоїдів дві грані є паралельними).
Порівняння з іншими багатогранниками:
Якщо одна грань паралелепіпеда вироджується у відрізок, отримається клин.
Піраміда, основа якої — трапеція (зокрема і паралелогам, прямокутник, квадрат) є клином, в якому одне з ребер вироджене в точку.
Клин можна розглядати як трикутну зрізану призму.
Трикутна призма є окремим випадком клина з двома паралельними трикутними гранями.
клин, всі грані якого — правильні багатокутники, всі ребра — однакової довжини. Багатогранник можна розглядати як правильну трикутну призму. Симетрія: D3h[en], [3,2], (*223) порядок 12 (Діедральна симетрія 3-призми)
Має вісь симетрії 3-го порядку та три осі симетрії 2-го порядку; чотири площини симетрії.
Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).
клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані прямокутники та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані перпендикулярні до основи. Багатогранник можна розглядати як пряму трикутну призму з основою- рівнобедрений трикутник. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії.
Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і прямокутника).
клин, основа якого — прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані рівнобедрені трапеції та рівнобедрені трикутники.
Трикутні грані однаково нахилені до основи. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії.
Формули
Об'єм довільного клина можна обрахувати за фомулою об'єма для двічі скошеної прямої трикутної призми[1] :
де , , — довжини паралельних ребер клина. — площа перерізу, перпендикулярного до цих ребер.
Для скошеного прямого клина справедливі формули:
Об'єм:
(формула справедлива для будь-якого клина з прямокутною основою.)
Площа поверхні:
Центр тяжіння лежить на осі клина на відстані від його основи.
тут , — довжини ребер прямокутної грані клина. — довжина верхнього (апексного) ребра, паралельного основі. — висота, відстань від верхнього ребра клина до його основи.
Для прямого клина (при ) формули спрощуються до:
,
,
Приклади
Клини можна отримати розрізанням інших багатогранників. Наприклад, додекаедр можна розбити на центральный куб і 6 прямих клинів з квадратною основою, що покривають грані куба. Орієнтації клинів обираються так, що трикутні і трапецевидні грані сполучаються й утворюють правильні п'ятикутники.
Два тупих клини можна отримати при розрізанні навпіл правильного тетраедра площиною, яка є паралельною до двох протилежних сторін.
Тупокутний клин як зрізаний наполовину правильний тетраедр
Клин, побудований з 8-ми трикутних граней і 2-х квадратів. Його можна розглядати як тетраедр, нарощений двома квадратними пірамідами.
Додекаедр можна роскласти на центральний куб і 6 клинів на його 6-ти квадратних гранях.
Пов'язані багатогранники
Обеліск (Зрізаний прямий клин)[2]– багатогранник у якого нижня та верхня основи є прямокутниками, розташованими в паралельних площинах; протилежні бічні грані (конгруентні рівнобедрені трапеції) однаково нахилені до основи, але не перетинаються.
Об'єм багатогранника можна обрахувати за формулою:
Джерела
Harris, J. W., Stocker, H. §4.5.2 Wedge // Handbook of Mathematics and Computational Science. — New York : Springer, 1998. — С. 102. — ISBN 978-0-387-94746-4.
George R. Perkins: Plane and Solid Geometry. Appleton & Co, New York, 1854, S. 115
Посилання
Weisstein, Eric W.Wedge(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Примітки
↑Понарин Я. П. (2006). Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства (рашистська) . Москва: Издательство МЦНМО. с. с.100. ISBN5-94057-223-5. {{cite book}}: |pages= має зайвий текст (довідка)
↑Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. (1981). Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов (рашистська) . Москва: Наука. с. 222.