uk %D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0 %D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F

Обертальна симетрія, також відома в біології як радіальна симетрія, — це властивість форми, коли вона виглядає однаково після деякого обертання частковим поворотом. Ступінь обертальної симетрії об'єкта — це кількість чітких обертів, у яких він виглядає абсолютно однаковим для кожного положення.

Формальне трактування

Формально обертальна симетрія є симетрією відносно деяких або всіх обертань у m -вимірному евклідовому просторі . Повороти — це прямі ізометрії, тобто ізометрії, що зберігають орієнтацію . Отже, група симетрії обертової симетрії є підгрупою E ⁺ (m) (див. Групу Евкліда).

Симетрія всіх обертань відносно всіх точок передбачає поступальну симетрію щодо всіх трансляцій, тому простір однорідний, а група симетрії — це ціле E (m). З модифікованим поняттям симетрії для векторних полів група симетрії також може бути E ⁺ (m).

Для симетрії обертань навколо точки ми можемо взяти дану точку за початок. Ці обертання утворюють спеціальну ортогональну групу SO (m), групу m × m ортогональних матриць з детермінантом 1. Для $m = 3$ це група обертання SO (3) .

В іншому визначенні слова, групою обертання об'єкта є група симетрії в межах E ⁺ (n), група прямих ізометрій ; іншими словами, перетин групи повної симетрії та групи прямих ізометрій. Для хіральних об'єктів це те саме, що і повна група симетрії.

Закони фізики SO (3) -інваріантні, якщо вони не розрізняють різних напрямків у просторі. Через теорему Нетера обертальна симетрія фізичної системи еквівалентна закону збереження моменту імпульсу .

Дискретна обертальна симетрія

Обертальна симетрія порядку n, також звана n- кратною симетрією обертання або дискретною симетрією обертання n- го порядку щодо певної точки (у 2D) або осі (у 3D) означає, що обертання на кут 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51 ° і т. д.) не змінює об'єкт. «1-кратна» симетрія — це відсутність симетрії (всі об'єкти виглядають однаково після обертання на 360 °).

Позначення n- кратної симетрії дорівнює C _n або просто " n ". Фактична група симетрії визначається точкою або віссю симетрії разом з n . Для кожної точки або осі симетрії абстрактним типом групи є циклічна група порядку n, Z _n . Хоча для останнього також використовується позначення C _n, слід розрізняти геометричний та абстрактний C _n : існують інші групи симетрії того самого типу абстрактної групи, які геометрично відрізняються, див. Групи циклічної симетрії у 3D .

Основним доменом є сектор 360 ° / п.

Приклади без додаткової симетрії відображення :

n = 2, 180 °: діада ; літери Z, N, S; контури, хоча і не кольори, символу інь та ян ; прапор Союзу (поділений вздовж діагоналі прапора та обертається навколо центральної точки прапора)
n = 3, 120 °: тріада, трискеліон, боромеївські кільця ; іноді використовується термін тристороння симетрія ;
n = 4, 90 °: тетрада, свастика
n = 6, 60 °: шестигранник, зірка Давида
n = 8, 45 °: октада, восьмикутні мукарни, комп'ютерні (CG), стеля

C _n — група обертання правильного n- бічного багатокутника в 2D та регулярної n- сторонній піраміди в 3D.

Якщо існує, наприклад, обертальна симетрія відносно кута 100 °, то також щодо одного з 20 °, найбільшого спільного дільника 100 ° та 360 °.

Типовий тривимірний об'єкт із симетрією обертання (можливо, також з перпендикулярними осями), але без дзеркальної симетрії, є гвинтом .

Приклади

C2 (більше)	C3 (більше)	C4 (більше)	C5 (більше)	C6 (більше)
</img> </br> Подвійний маятник фрактал	</img> </br> Круговий рух дорожній знак		</img> </br> Зірка з двохсотріччя США	</br> Коло на полях в перспективі
</img> </br> Вихідне положення в шогі	</img> </br> Snoldelev камінь сблокирован "s ріг для пиття дизайн	</img>	</img>	</img>

Кілька осей симетрії через одну і ту ж точку

Для дискретної симетрії з кількома осями симетрії через одну точку існують такі можливості:

На додаток до n -кратної осі, n перпендикулярних 2-кратних осей: двогранні групи D _n порядку 2 n ( $n \geq 2$ ). Це група обертання регулярної призми або регулярної біпіраміди . Незважаючи на те, що використовуються однакові позначення, слід розрізняти геометричну та абстрактну D _n : існують інші групи симетрії того самого типу абстрактної групи, які геометрично відрізняються, див. Групи двогранних симетрій у 3D .
4 × 3-кратні та 3 × 2-кратні осі: група обертання Т порядку 12 правильного тетраедра . Група ізоморфна змінній групі A ₄ .
3 × 4-кратні, 4 × 3-кратні та 6 × 2-кратні осі: група обертання О порядку 24 куба і правильного октаедра . Група ізоморфна симетричній групі S ₄ .
6 × 5-кратна, 10 × 3-кратна та 15 × 2-кратна осі: група обертання Я порядку 60 додекаедра та ікосаедра . Група ізоморфна змінній групі A ₅ . Група містить 10 версій D ₃ та 6 версій D ₅ (ротаційні симетрії, такі як призми та антипризми).

У випадку з платонівськими твердими тілами 2-кратні осі проходять через середини протилежних ребер, і їх кількість становить половину числа ребер. Інші осі проходять через протилежні вершини та через центри протилежних граней, за винятком випадку тетраедра, де 3-кратні осі проходять через одну вершину та центр однієї грані.

Обертальна симетрія щодо будь-якого кута

Обертальна симетрія відносно будь-якого кута є, у двох вимірах, круговою симетрією . Фундаментальним доменом є напівлінія .

У трьох вимірах ми можемо розрізнити циліндричну симетрію та сферичну симетрію (без змін при обертанні навколо однієї осі або при будь-якому обертанні). Тобто, відсутність залежності від кута за допомогою циліндричних координат і відсутність залежності від будь-якого кута за допомогою сферичних координат . Основною областю є напівплощина через вісь і радіальна напівлінія відповідно. Осісиметрична - це прикметники, що відносяться до об'єкта, що має циліндричну симетрію, або осесиметрію (тобто обертальну симетрію відносно центральної осі), як пончик (тор). Прикладом приблизної сферичної симетрії є Земля (щодо щільності та інших фізико-хімічних властивостей).

4D безперервна або дискретна обертальна симетрія відносно площини відповідає 2D обертальній симетрії в кожній перпендикулярній площині, відносно точки перетину. Об'єкт може також мати обертальну симетрію навколо двох перпендикулярних площин, наприклад, якщо це декартовий добуток двох обертально-симетричних 2D фігур, як, наприклад, у випадку дуоциліндра та різних регулярних дуопризьм .

Обертальна симетрія з поступальною симетрією

</img> </br> Розташування в примітивній клітині 2-х та 4-кратних ротоцентрів. Основний домен позначений жовтим кольором.	</img> </br> Розміщення в примітивній комірці з 2-, 3- та 6-кратних ротоцентрів, окремо або в комбінації (розгляньте 6-кратний символ як комбінацію 2- та 3-кратного символу); лише у випадку 2-кратної симетрії форма паралелограма може бути різною. Для випадку p6 основний домен позначений жовтим кольором.

Двократна обертальна симетрія разом з одиночною поступальною симетрією є однією з груп Фріза . На одну примітивну клітину припадає два ротоцентри.

Разом із подвійною поступальною симетрією групами обертання є наступні групи шпалер з осями на примітивну комірку:

p2 (2222): 4 × 2-кратний; група обертання паралелограммової, прямокутної та ромбічної решітки .
p3 (333): 3 × 3-кратний; не група обертання будь-якої решітки (кожна решітка перевернута однаково, але це не стосується цієї симетрії); це, наприклад, група обертання правильної трикутної плитки з рівносторонніми трикутниками, що чергуються.
p4 (442): 2 × 4-кратний, 2 × 2-кратний; група обертання квадратної решітки.
p6 (632): 1 × 6-кратний, 2 × 3-кратний, 3 × 2-кратний; група обертання шестикутної решітки.
2-кратні ротоцентри (включаючи можливі 4-кратні та 6-кратні), якщо вони взагалі присутні, утворюють транслят решітки, рівний поступальній решітці, масштабований у 1/2 рази. У разі поступальної симетрії в одному вимірі застосовується подібна властивість, хоча термін «решітка» не застосовується.
3-кратні ротоцентри (включаючи можливі 6-кратні), якщо вони взагалі є, утворюють правильну гексагональну решітку, рівну поступальній решітці, повернену на 30 ° (або еквівалентно 90 °) і масштабовану в коефіцієнт ${\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
4-кратні ротоцентри, якщо вони взагалі присутні, утворюють правильну квадратну решітку, рівну поступальній решітці, повернену на 45 ° і масштабовану в коефіцієнт ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
6-кратні ротоцентри, якщо вони взагалі є, утворюють правильну шестикутну решітку, яка є транслятором поступальної решітки.

Масштабування решітки це — поділ кількості точок на одиницю площі і на квадрат масштабного коефіцієнта. Отже, кількість 2-, 3-, 4- та 6-кратних ротоцентрів на примітивну клітину становить відповідно 4, 3, 2 та 1, знову ж включаючи 4-кратний як особливий випадок 2-кратного тощо.

3-кратна симетрія обертання в одній точці та 2-кратна в іншій (або, наприклад, у 3D відносно паралельних осей) передбачає групу обертання p6, тобто подвійну поступальну симетрію та 6-кратну обертальну симетрію в якійсь точці (або, в 3D, паралельна вісь). Довжина перекладу для симетрії, відтвореною однією такою парою ротоцентрів, становить $2{\sqrt {3}}$ помножена на відстань між ними.

Евклідова площина	Гіперболічна площина
</img> </br> Трикутна черепиця Hexakis, приклад p6, [6,3] ⁺, (632) (з кольорами) та p6m, [6,3], (* 632) (без кольорів); лінії є осями відбиття, якщо кольори ігноруються, та особливим видом осі симетрії, якщо кольори не ігноруються: відбиття повертає кольори. Можна виділити прямокутні лінійні сітки в трьох орієнтаціях.	</img> </br> Замовлення 3-7 kisrhombille, приклад [7,3] ⁺ (732) симетрії та [7,3], (* 732) (без кольорів)

Дивитися також

Амбіграма
Вісь симетрії
Теорема кристалографічного обмеження
Лоренцові симетрії
Трьохвимірні точкові групи
Гвинтова вісь
Точки простору
Поступальна симетрія

Список літератури

Weyl, Hermann (1982). Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.

Посилання

Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Обертова симетрія</img>
Приклади обертальної симетрії з математики — це цікаво

Обертова симетрія