Гіпероб'єм

Гіпероб'єм — деяка міра (зазвичай міра Лебега), що зіставляється внутрішності «гіпертіл» (тіл у багатовимірному просторі), узагальнення тривимірного об'єму. Аналогічну міру для межі гіпертіла називають гіперплощею. Гіпероб'єм визначається перетином трьох гіперпрямих і тому має властивість тривимірності[1].

Обчислення

Існує кілька комп'ютерних алгоритмів обчислення гіпероб'єму. Див. Алгоритми точного обчислення гіпероб'єму(рос.) [Архівовано 17 квітня 2021 у Wayback Machine.].

Точне обчислення значення гіпероб'єму множини з d точок n-вимірного простору є #P-складною^[en] задачею.[2]

Гіпероб'єми деяких тіл

Тіло	Точне визначення	Гіпероб'єм
Гіперкуб	опукла оболонка точок ${\displaystyle (\underbrace {\pm 1,\ldots ,\pm 1} _{n})}$	${\displaystyle V_{n}=2^{n}}$
Симплекс	опукла оболонка точок ${\displaystyle (\underbrace {0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0} _{n})}$ і початку координат	Визначник Келі — Менгера
n-вимірна куля	ГМТ, віддалених від центра на відстань не більше R.	${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({n \over 2}+1)}}R^{n}\ }$
Гіперконус	Опукла оболонка ${\displaystyle n-1}$-вимірної кулі радіуса ${\displaystyle R}$ і точки ${\displaystyle (\underbrace {0,\ldots ,0} _{n-1},h)}$	${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{(n-1)/2}}{n\Gamma ({{n+1} \over 2})}}R^{n-1}h}$

В інших галузях

Існує так звана «модель гіпероб'єму» Дж. Е. Хатчинсона, згідно з якою екологічна ніша подається як n-вимірний куб, на осях якого відкладено екологічні фактори[3][4].

В роботі Брокоффа, Фрфдрфха і Ноймана[5] детально розглядається застосування[1](рос.) [Архівовано 17 листопада 2020 у Wayback Machine.] індикатора гіпероб'єму в еволюційних алгоритмах.

Див. також

• Міра Лебега
• Гіперкуб

Примітки

1. Кутковецький В.Я. Аналітична геометрія в n-вимірних тілесних кутах // Наукові праці [Чорноморського державного університету імені Петра Могили комплексу "Києво-Могилянська академія"]. — 2015. — Т. 266, вип. 254. — С. 30-41. — (Комп’ютерні технології).
2. Оцінка складності обчислення гіпероб'єму — Вікіконспекти. Архів оригіналу за 12 листопада 2020. Процитовано 13 березня 2022.
3. Hutchinson, G.E. (1957). Concluding remarks (PDF). Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology. 22 (2): 415—427. Архів оригіналу (PDF) за 26 вересня 2007. Процитовано 24 липня 2007.
4. Шанда В.І., Ворошилова Н.В., Шанда Л.В. Властивості екологічноїніші біологічного виду // Питання біоіндикації та екології. — 2011. — Вип. 16. — № 1. — С. 3–12.
5. Brockhoff D., Friedrich T., Neumann F. — Analyzing Hypervolume Indicator Based Algorithms [Архівовано 8 січня 2013 у Wayback Machine.] (англ.)