Міра множини

Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та ${\displaystyle n}$-вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення

Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.

Скінчено-адитивна міра

Нехай задано простір ${\displaystyle X}$ з виділеним класом підмножин ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам:

1. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$;
2. Якщо ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n=1}^{N}\subset {\mathcal {F}}}$ — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тобто ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\not =j}$, то

${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{N}E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{N}\mu (E_{n})}$.

Альтернативне визначення

Функція множини ${\displaystyle \mu (A)}$ називається мірою, якщо:

• область визначення ${\displaystyle \sigma _{\mu }}$ функції ${\displaystyle \mu (A)}$ є напівкільце множин.
• значення ${\displaystyle \mu (A)\geq 0}$
• ${\displaystyle \mu (A)}$ — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}}$, ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$

  буде виконуватись рівність

  ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{n}\mu (A_{k})}$

Система множин ${\displaystyle \sigma }$ називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до ${\displaystyle \sigma }$ множини ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle A_{1}\subset A}$ випливає можливість представлення множини ${\displaystyle A}$ у вигляді об'єднання ${\displaystyle A=\bigcup _{k=1}^{n}A_{k}}$, де ${\displaystyle A_{k}}$ — попарно неперетинаючі множини з ${\displaystyle \sigma }$, перша з яких є задана множина ${\displaystyle A_{1}}$.

Злічено-адитивна міра

Нехай задано простір ${\displaystyle X}$ з виділеною σ-алгеброю ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Функція ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

1. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$;
2. (σ-адитивність) Якщо ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$ — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тобто ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\not =j}$, то

${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$.

Продовження міри

Міра ${\displaystyle \mu }$ називається продовженням міри ${\displaystyle m}$, якщо ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{m}\subset {\mathcal {F}}_{\mu }}$ і для кожної ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{m}}$ виконується рівність:

${\displaystyle \mu (A)=m(A)}$

При цьому, для кожної міри ${\displaystyle m(A)}$, заданої на деякому напівкільці ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{m}}$ існує єдине продовження ${\displaystyle m'(A)}$, що має як область визначення кільце ${\displaystyle {\mathcal {R}}({\mathcal {F}}_{m})}$ (тобто, мінімальне кільце над ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{m}}$).

Примітки

• Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
• Якщо міра всього простору скінчена, тобто ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
• На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.

Приклади

• Міра Жордана — приклад скінчено-адитивної міри;
• Міра Лебега — приклад нескінченої міри;
• Імовірність — приклад скінченої міри.

Див. також

• Векторна міра
• Вимірна множина
• Заряд (теорія міри)
• Комплексна міра
• Метричний простір

Джерела

• Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)