Замикання (математика)

Замикання (англ. closure) множини — мінімально можливе розширення множини для збереження бажаних властивостей.

Замикання відносно операції

Множина є замкнутою відносно деякої операції, якщо результатом виконання цієї операції над елементами множини завжди буде елемент цієї множини.

Наприклад, дійсні числа є замкнутими відносно віднімання, а натуральні числа — ні.

Якщо множина є замкнутою відносно операції, то кажуть, що вона задовільняє властивість замикання.

Сучасний теоретико-множинний підхід зазвичай визначає операції як відповідність між множинами, в такому випадку поняття замикання не є потрібним, хоча воно має зміст для підмножин.

Наприклад, дійсні числа є замкнутими відносно віднімання, а підмножина натуральних чисел — ні.

Якщо множина S не є замкненою відносно деякої операції, то шукають найменшу замкнену відносно цієї операції множину, що містить S. Таку множину називають замиканням S відносно цієї операції.

Множина S повинна бути підмножиною деякої замкненої множини, щоб можна було знайти замикання.

Наприклад: замиканням відносно віднімання для натуральних чисел, що є підмножиною дійсних чисел, будуть цілі числа.

Замикання відносно відношення

Також існує поняття замикання множини відносно деякого відношення:

• Транзитивне замикання
• Рефлексивне замикання
• Симетричне замикання

Оператор замикання

Якщо задано операцію на множині S, то можна визначити замикання для будь-якої підмножини X.

Наприклад, замиканням підмножини групи є підгрупа, що породжена цією підмножиною.

Можна визначити на множині всіх підмножин S оператор замикання (відносно цієї операції) cl: 2^S → 2^S, що матиме такі властивості:

• екстенсивність: X ⊆ cl(X),
• монотонність: X ⊆ Y → cl(X) ⊆ cl(Y),
• ідемпотентність: cl(cl(X)) = cl(X).

Замикання відносно топології

В топологічному просторі замкнуту множину щодо заданої топології, визначають як доповнення простору, до деякої відкритої множини.

З визначення відкритої множини та принципу дуальності отримуємо:

• Відкрита множина є замкнутою відносно операцій: зліченного об'єднання та скінченного перетину
• Замкнута множина є замкнутою відносно операцій: скінченного об'єднання та зліченного перетину.

Замиканням множини відносно топології, називається перетин всіх замкнених множин що її містять, він є замкнутою множиною.

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)