Відношення

Відношення — математична структура, що формально визначає властивості різних об'єктів і їхні взаємозв'язки. Поширеними прикладами відношень у математиці є рівність (=), подільність, подібність, паралельність і багато інших.

Поняття відношення як підмножини декартового добутку формалізовано в теорії множин і набуло широкого поширення в мові математики у всіх її гілках. Теоретико-множинний погляд на відношення характеризує його з точки зору обсягу — якими комбінаціями елементів воно наповнене; змістовний підхід розглядається в математичній логіці, де відношення — пропозиційна функція, тобто вираз з невизначеними змінними, підстановка конкретних значень для яких робить його істинним або хибним. Важливу роль відношення відіграють в універсальній алгебрі, де базовий об'єкт вивчення розділу — множина з довільним набором операцій та відношень. Одне з найяскравіших застосувань техніки математичних відношень в прикладах — реляційні системи керування базами даних, методологічно засновані на формальній алгебрі відношень.

Формальні означення і позначення

${\displaystyle n}$-місним (${\displaystyle n}$-арним) відношенням ${\displaystyle R}$, що задане на множинах ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}}$, називається підмножина декартового добутку цих множин: ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$. Факт зв'язку ${\displaystyle n}$ елементів ${\displaystyle \langle m_{1}\in M_{1},m_{2}\in M_{2},\dots m_{n}\in M_{n}\rangle }$ відношенням ${\displaystyle R}$ позначається ${\displaystyle R(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$ або ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})\in R}$.

Факт зв'язку об'єктів ${\displaystyle m_{1}\in M_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}\in M_{2}}$ бінарним відношенням ${\displaystyle R\subset M_{1}\times M_{2}}$ зазвичай позначають за допомогою інфіксного запису: ${\displaystyle m_{1}\,R\,m_{2}}$. Одномісні (унарні) відношення відповідають властивостям або атрибутам, як правило, для таких випадків термінологія відношень не використовується. Іноді використовуються тримісні відношення (тернарні), чотиримісні відношення (кватернарні); про відношення невизначено високої арності говорять як про «мультиарні», «багатомісні».

Універсальне відношення — це відношення, що зв'язує усі елементи заданих множин, тобто, таке, що збігається з декартовим добутком: ${\displaystyle R=M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$. Нуль-відношення — відношення, що не зв'язує жодні елементи, тобто порожня множина: ${\displaystyle R=\varnothing \subset M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}}$.

Функціональне відношення — відношення, що утворює функцію: ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1}}$ є функціональним, якщо виконання ${\displaystyle R(m_{1},\dots ,m_{n},x)}$ та ${\displaystyle R(m_{1},\dots ,m_{n},y)}$ має наслідком ${\displaystyle x=y}$ (це забезпечує єдиність значення функції).

Унарне відношення

При n=1 відношення R⊆M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a∈M має ознаку R, якщо a∈R і R⊆M.

Бінарне відношення

Докладніше дивись статтю Бінарне відношення

Широко вживаними в математиці та прикладних науках є двомісні або бінарні відношення (тобто відношення з n=2)

Якщо елементи a, b∈M знаходяться в бінарному відношенні R (тобто визначена впорядкована пара (a, b)∈R), то це часто записують у вигляді aRb. Слід зауважити також, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме — як відповідності між однаковими множинами.

Приклади бінарних відношень на множині натуральних чисел N:

• R₁ — відношення ≤ («менше або дорівнює»), тоді 4 R₁ 19, 5 R₁ 15 і т. д. для будь-якого m ∈N
• R₂ — відношення «ділиться на», тоді 4 R₂ 2, 49 R₂ 7, m R₂ 1 для будь-якого m∈N
• R₃ — відношення «є взаємно простими», тоді 15 R₃ 38, 366 R₃ 3121, 1001 R₃ 3612
• R₄ — відношення «складаються з однакових цифр», тоді 127 R₄ 4721, 230 R₄ 4302, 3231 R₄ 43213311

Див. також

• Бінарне відношення
• Відношення порядку
• Відношення еквівалентності

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ(інші мови), 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)

• Відношення // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — ISBN 966-531-128-X.