Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини , площі і
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
евклідовому просторі .
Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана. Міра Жордана
m
(
Δ
)
{\displaystyle ~m(\Delta )}
напівінтервалів
Δ
=
∏
i
=
1
n
[
a
i
,
b
i
)
{\displaystyle \Delta =\prod _{i=1}^{n}[a_{i},\;b_{i})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
m
(
Δ
)
=
∏
i
=
1
n
(
b
i
−
a
i
)
.
{\displaystyle m(\Delta )=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}
Для обмеженої множини
E
⊂
R
n
{\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}
зовнішня міра Жордана
m
e
(
E
)
=
inf
∑
k
=
1
N
m
(
Δ
k
)
,
⋃
k
Δ
k
⊃
E
{\displaystyle m_{e}(E)=\inf \sum _{k=1}^{N}m(\Delta _{k}),\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\supset E}
внутрішня міра Жордана
m
i
(
E
)
=
sup
∑
k
=
1
N
m
(
Δ
k
)
,
⋃
k
Δ
k
⊂
E
,
Δ
k
∩
Δ
m
=
∅
{\displaystyle m_{i}(E)=\sup \sum _{k=1}^{N}m(\Delta _{k}),\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\subset E,\quad \Delta _{k}\cap \Delta _{m}=\varnothing }
k
≠
m
,
{\displaystyle \ k\neq m,}
де
Δ
1
,
Δ
2
,
…
,
Δ
N
{\displaystyle \Delta _{1},\;\Delta _{2},\;\ldots ,\;\Delta _{N}}
Множина
E
{\displaystyle ~E}
вимірною за Жорданом , якщо
m
e
(
E
)
=
m
i
(
E
)
{\displaystyle ~m_{e}(E)=m_{i}(E)}
m
(
E
)
=
m
e
(
E
)
=
m
i
(
E
)
{\displaystyle ~m(E)=m_{e}(E)=m_{i}(E)}
Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
Обмежена множина
E
⊂
R
n
{\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}
Зовнішня міра Жордана для
E
{\displaystyle ~E}
E
¯
{\displaystyle {\bar {E}}}
замикання множини
E
{\displaystyle ~E}
мірі Бореля
E
¯
{\displaystyle {\bar {E}}}
Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин , на якому міра Жордана є скінченно-адитивною функцією .
Усі прямокутники , кулі , симплекси є вимірними за Жорданом.
Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел . Зовнішня міра Жордана цієї множини дорівнює 1, а внутрішня дорівнює нулю.
Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887. (італ.) Jordan C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99. (фр.)
