Векторна міра

Векторна міра — адитивна функція множин, визначена на кільці множин зі значеннями в нормованому просторі. Є узагальненням понять міри, заряду і комплексної міри. Для векторних мір, як і для мір, визначено поняття інтегралу.

Означення

Якщо ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ є алгеброю множин, а ${\displaystyle E}$ - нормованим простором, то функція ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E,}$, що задовольняє умову

${\displaystyle \nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)}$

для всіх множин ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},}$ що мають порожній перетин називається векторною мірою

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ є σ-алгеброю то функція ${\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E}$ називається зліченно адитивною (σ-адитивною) векторною мірою, якщо для кожної послідовності ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ множин із ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, що попарно не перетинається:

${\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})}$

Варіація і напівваріація

Нехай ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E}$ є векторною мірою, а ${\displaystyle \Pi \subset {\mathcal {F}}}$ позначає різні скінченні підмножини із ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ і для кожної ${\displaystyle \Pi }$ її елементи попарно не перетинаються і ${\textstyle \bigcup _{P\in \Pi }=A.}$ Функція ${\displaystyle |\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ задана як

${\displaystyle |\nu |(A)=\sup \left\{\sum _{P\in \Pi }\|\nu (P)\|\colon \Pi \right\},}$

називається варіацією векторної міри ${\displaystyle \nu .}$

Функція ${\displaystyle \|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],}$ задана як

${\displaystyle \|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}}$

називається напівваріацією векторної міри ${\displaystyle \nu .}$

Векторна міра ${\displaystyle \nu }$ має скінченну варіацію якщо її на усьому просторі є скінченною.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ є σ-алгеброю пімножин ${\displaystyle M,}$ a ${\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} }$ є зліченно адитивною функцією множин, до

${\displaystyle |\nu |=\|\nu \|=\nu ^{+}+\nu ^{-},}$ де ${\displaystyle \nu ^{+},\nu ^{-},}$ є відповідно додатною і від'ємною варіаціями.

• Варіація векторної міри є адитивною функцією множин. Варіація зліченно адитивної векторної міри є мірою.
• Напівваріація векторної міри є субадитивною та монотонною функцією множин.
• Якщо ${\displaystyle \nu }$ є векторною мірою, то ${\displaystyle \|\nu \|\leqslant |\nu |.}$
• Векторна міра з обмеженою варіацією є зліченно адитивною тоді й лише тоді, коли її варіація є зліченно адитивною.
• Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\sigma ({\mathcal {F}})}$ (σ-алгебра, породжена алгеброю ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$). Якщо ${\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E}$ є зліченно адитивною векторною мірою з обмеженою варіацією, то для кожного ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ виконується рівність: ${\displaystyle |\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).}$
• Якщо варіація векторної міри ${\displaystyle \nu }$ є скінченною мірою, то ${\displaystyle \nu }$ є зліченно адитивною векторною мірою.
• Множина значень σ-адитивної векторної міри є обмеженою.

Приклади

• Зліченно адитивна векторна міра. Нехай ${\displaystyle T\colon L_{\infty }[0,1]\to X}$ є неперервним лінійним оператором. Тоді можна ввести скінченно адитивну міру значення якої lля кожної вимірної (у сенсі Лебега) множини ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ є рівним:

${\displaystyle \nu (A)=T(\chi _{A}),}$

де ${\displaystyle \chi _{A}}$ — характеристична функція. Також для кожного ${\displaystyle A\subset [0,1]}$

${\displaystyle \|\nu (A)\|\leqslant l(A)\|T\|,}$ де ${\displaystyle l}$ — міра Лебега.

Тоді також ${\displaystyle \|\nu \|(A)\leqslant l(A)\|T\|,}$

що доводить, що ${\displaystyle \nu }$ є векторною мірою із скінченною варіацією.

• Векторна міра із скінченною напівваріацією але нескінченною варіацією. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}$ є σ-алгеброю підмножин Лебера множини ${\displaystyle [0,1]}$. Функція ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]}$, задана як

${\displaystyle \nu (A)=\chi _{A},}$

для ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}$ має скінченну напівваріацію але нескінченну варіацію.

• Векторна міра із нескінченною варіацією. Нехай ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {N} \colon |A|<\aleph _{0}\vee |\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\}.}$ Функція ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }$ задана як

${\displaystyle \nu (A)=\left\{{\begin{array}{ll}|A|,&|A|<\aleph _{0}\\-|A|,&|\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\end{array}}\right.}$

має необмежену варіацію.

Див. також

• Заряд (теорія міри)
• Комплексна міра
• Міра множини

Література

• Cohn, Donald L. (1997). Measure theory (вид. reprint). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. с. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl 0436.28001. Архів оригіналу за 28 січня 2022. Процитовано 3 лютого 2022.
• Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures. Mathematical Surveys. Т. 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. с. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
• Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.