Вузол Конвея

Вузол Конвея

Вузол Кіношита-Терасака (11n42) та вузол Конвея (11n34) пов'язані мутацією.

Просте прямокутне зображення вузла Конвея

Вузол Конвея на воротах Інституту Ісака Ньютона

Вузол Конвея (англ. Conway knot) — певний вузол з мінімальним числом перетинів 11, названий на честь його першовідкривача, британського математика Джона Гортона Конвея, який вперше описав цей вузол у 1970 році.

Властивості

Группа кос для узла Конвея:

${\displaystyle \sigma _{2}^{3}\sigma _{1}\sigma _{3}^{-1}\sigma _{2}^{-2}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}\sigma _{3}^{-1}}$.

Многочлен Джонса для вузла Конвея дорівнює 1:

${\displaystyle t^{-4}(-1+2t-2t^{2}+2t^{3}+t^{6}-2t^{7}+2t^{8}-2t^{9}+t^{10})}$.

У таблицях Дейла Рольфсена та в атласі вузлів^[en] він має номер K11n34.

Гіперболічний об'єм вузла Конвею дорівнює 11,2191.

Вузол Конвея пов'язаний мутацією з вузлом Кіношіти — Терасакі^[en] і має з ним той самий многчлен Джонса, многочлен Александера та поліном Конвея, причому останні два рівні 1, як і у тривіального вузла. Ця пара вузлів — найпростіший (у сенсі кількості перетинів) приклад такого роду.

Вузол Конвея — топологічно зрізаний, але не гладко зрізаний.

Питання приналежності вузла Конвею до зрізаних

Вузол Конвея довгий час залишався єдиним вузлом з кількістю перетинів не більше 13, для якого було невідомо, чи він зрізаний гладко. Це питання вирішила в 2020 році Ліза Піччирілло через 50 років після того, як Джон Гортон Конвей вперше запропонував цей вузол. Для доказу Піччирілло побудувала новий вузол, який мав той самий чотиривимірний слід, що і вузол Конвея. Використавши s-інваріант Расмуссена, вона показала, що її вузол не є гладким зрізом, отже, і вузол Конвея також не гладко зрізаний[1][2][3].

Вузол Конвея в культурі та мистецтві

• Вузол Конвея зображений на воротах Інституту Ісаака Ньютона^[en] в Кембриджському університеті[4]
• Вузол Конвея представлений серед експонатів пересувної художньої інсталяції Mathemalchemy^[en][5].

Примітки

1. Blakemore, Erin. Graduate student untangles nature of Conway knot. The Washington Post (англ.). Архів оригіналу за 30 січня 2021. Процитовано 26 травня 2020.
2. Piccirillo, Lisa (2020). The Conway knot is not slice. Annals of Mathematics. 191 (2): 581—591. arXiv:1808.02923. doi:10.4007/annals.2020.191.2.5. ISSN 0003-486X. JSTOR 10.4007/annals.2020.191.2.5.
3. Аспирантка решила топологическую задачу полувековой давности
4. Art and Mathematics: Knots and Links | Klein Project Blog
5. Conway's Curios — Mathemalchemy

Посилання

• Вузол Конвея в Атласі Вузлів