Простий вузол (теорія вузлів)

В теорії вузлів простий вузол або просте зачеплення — вузол, який, у певному сенсі, нерозкладний. Точніше, це нетривіальний вузол, який не можна подати у вигляді конкатенації двох нетривіальних вузлів. Про вузли, які не є простими, кажуть як про складені вузли або складені зачеплення. Визначити, чи є даний вузол простим чи ні, може виявитися складною задачею.

Приклади

Хорошим прикладом сімейства простих вузлів служать торичні вузли. Ці вузли утворюються шляхом накручування кола на тор p разів в одному напрямку і q разів в іншому, де p і q є взаємно простими цілими числами.

Найпростіший простий вузол — це трилисник з трьома перетинами. Трилисник є, фактично, (2, 3)-торичним вузлом. Вузол «вісімка» з чотирма перетинами є найпростішим неторичним вузлом. Для будь-якого додатного цілого числа n є скінченне число простих вузлів з n перетинами. Перші кілька значень числа простих вузлів (послідовність A002863 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) подані в таблиці.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Число простих вузлів
з n перетинами 		0 0 1 1 2 3 7 21 49 165 552 2176 9988 46 972 253 293 1 388 705
Складені вузли 0 0 0 0 0 2 1 4 … … … …
Всього 0 0 1 1 2 5 8 25 … … … …

Зауважимо, що антиподи враховувалися в цій таблиці і на малюнку нижче тільки один раз (тобто вузол і його дзеркальне відображення вважаються еквівалентними).

Зображення всіх простих вузлів з сімома і менше перетинами без урахування дзеркальних відображень. (Тривіальний вузол простим не вважається)

Теорема Шуберта

Теорема, що належить Хорсту Шуберту, стверджує, що будь-який вузол можна єдиним чином подати у вигляді конкатенації простих вузлів[1].

Див. також

Примітки

  1. ↑ Schubert, 1949, с. 57—104.

Література

  • H. Schubert. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten // S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. — 1949.

Посилання

  • Weisstein, Eric W. Prime Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • [Prime Links with a Non-Prime Component] Атлас вузлів (англ.)