Гіпотези Тета

Гіпотези Тета — це три гіпотези, висловлені математиком 19-ого століття Пітером Гатрі Тетом під час вивчення вузлів^[en][1]. Гіпотези Тета оперують концепціями з теорії вузлів, такими як альтерновані вузли, хіральність і число закрученості. Всі гіпотези Тета доведено, останньою була гіпотеза про перевертання.

Передумови

Скорочена діаграма — це така, в якій вилучено всі перешийки.

Тет прийшов до своїх гіпотез у кінці XIX століття після спроб звести в таблицю^[en] всі вузли. Як у засновника теорії вузлів, його робота не мала суворого математичного обґрунтування, і не зовсім зрозуміло, поширював він свої гіпотези на всі вузли, чи тільки на альтерновані. Виявилося, що більшість із них правильні тільки для альтернованих вузлів[2]. У гіпотезах Тета діаграма вузла називається «скороченою», якщо всі «перешийки» або «тривіальні перехрещення» вилучено.

Число перетинів альтернованих вузлів

Тет припустив, що за деяких обставин число перетинів є інваріантом вузла, зокрема:

Будь-яка скорочена діаграма альтернованого зачеплення має найменшу можливу кількість перетинів

Іншими словами, число перетинів скороченого альтернованого зачеплення є інваріантом вузла. Цю гіпотезу довели Луїс Кауфман, Куніо Мурасугі (村杉邦男) і Морвен Б. Тістлетвейт у 1987 за допомогою многочлена Джонса[3][4][5]. Геометричне доведення, що не використовує многочленів вузла, дав 2017 року Джошуа Грін (Joshua Greene)[6].

Число закрученості й хіральність

Друга гіпотеза Тета:

Амфіхіральне (або ахіральне) альтерноване зачеплення має нульове число закрученості.

Цю гіпотезу також довели Кауфман і Тістлетвейт[3][7].

Перевертання

Перевертання^[en]

Гіпотезу Тета про перевертання можна сформулювати так:

Якщо дано дві скорочені альтерновані діаграми ${\displaystyle D_{1}}$ і ${\displaystyle D_{2}}$ орієнтованого простого альтернованого зачеплення, просте альтерноване зачеплення ${\displaystyle D_{1}}$ можна перетворити на ${\displaystyle D_{2}}$ шляхом послідовності деякого виду операцій, які називаються перевертанням[8]

Гіпотезу Тета про перевертання довели Тістлетвейт і Вільям Менаско 1991 року[9]. З гіпотези Тета про перевертання випливає кілька інших гіпотез Тета:

Будь-які дві скорочені діаграми одного альтернованого вузла мають однакове число закрученості.

Це випливає з того, що перевертання зберігає число закрученості. Цей факт довели раніше Мурасугі і Тістлетвейт[10][7]. Це також випливає з роботи Гріна[6]. Для неальтернованих вузлів ця гіпотеза не правильна і пара Перко є контрприкладом[2]. З цього результату випливає така гіпотеза:

Альтерновані амфіхіральні вузли мають парне число перетинів[2].

Це випливає з того, що дзеркальний вузол має протилежне число закрученості. Ця гіпотеза знову правильна тільки для альтернованих вузлів — існує неальтернований амфіхіральний вузол з числом перетинів 15[11].

Див. також

• Простий вузол

Примітки

1. Lickorish, 1997, с. 47.
2. Stoimenow, 2008, с. 285–291.
3. Kauffman, 1987, с. 395–407.
4. Murasugi, 1987, с. 187–194.
5. Thistlethwaite, 1987, с. 297–309.
6. Greene, 2017, с. 2133–2151.
7. Thistlethwaite, 1988, с. 311–318.
8. Weisstein, Eric W. Tait's Knot Conjectures(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
9. Menasco, Thistlethwaite, 1993, с. 113–171.
10. Murasugi, 1987, с. 317–318.
11. Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Raymond W. B. R. An introduction to knot theory. — Т. 175. — ISBN 978-0-387-98254-0. — DOI:10.1007/978-1-4612-0691-0.
• Louis Kauffman. State models and the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90009-7.
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 2. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90058-9.
• Morwen Thistlethwaite. A spanning tree expansion of the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(87)90003-6.
• Joshua Greene. Alternating links and definite surfaces // Duke Mathematical Journal. — 2017. — Т. 166, вип. 11. — arXiv:1511.06329. — Bibcode: 2015arXiv151106329G. — DOI:10.1215/00127094-2017-0004.
• William Menasco, Morwen Thistlethwaite. The Classification of Alternating Links // Annals of Mathematics. — 1993. — Т. 138, вип. 1. — DOI:10.2307/2946636. — JSTOR 2946636.
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. II // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1987. — Т. 102, вип. 2. — Bibcode: 1987MPCPS.102..317M. — DOI:10.1017/S0305004100067335.
• Morwen Thistlethwaite. Kauffman's polynomial and alternating links // Topology. — 1988. — Т. 27, вип. 3. — DOI:10.1016/0040-9383(88)90012-2.
• Alexander Stoimenow. Tait's conjectures and odd amphicheiral knots // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 2008. — Т. 45, № 2.