Оборотний вузол

В теорії вузлів оборотний вузол — це вузол, який може бути безперервною деформацією переведений у себе, але зі оберненою орієнтацією. Необоротний вузол — це будь-який вузол, який не має такої властивості. Оборотність вузла є інваріантом вузла. Оборотне зачеплення — це зачеплення з такою самою властивістю.

Існує всього п'ять типів симетрії вузлів, які визначаються хіральністью і оборотністю — повністю хіральний, двосторонній, додатно ахіральний необоротний, від'ємно ахіральний необоротний і повністю ахіральний оборотний[1].

Історія питання

Число оборотних і необоротних вузлів за числом перетинів

Число перетинів	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS послідовність
Необоротні вузли	0	0	0	0	0	1	2	33	187	1144	6919	38118	226581	1309875	послідовність A052402 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Оборотні вузли	1	1	2	3	7	20	47	132	365	1 032	3069	8854	26712	78830	послідовність A052403 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Давно відомо, що більшість простих вузлів, таких як трилисник і вісімка, оборотні. 1962 року Ральф Фокс^[en] висловив припущення, що деякі вузли необоротні, але не було доведено їх існування, поки в 1963 році Гейл Троттер^[en] не виявив нескінченне сімейство необоротних мереживних зачеплень[2]. Тепер відомо, що майже всі вузли необоротні[3].

Оборотні вузли

Найпростіший нетривіальний оборотний вузол, трилисник . Обертання вузла на 180 градусів в 3-вимірному просторі навколо осі на площині малюнка дає той же самий малюнок, але з протилежним напрямком стрілки.

Всі вузли з числом перетинів 7 і менше — оборотні. Не відомо загального методу, який дав би відповідь оборотний вузол чи ні. Проблему можна перевести в алгебричну термінологію[4], але, на жаль, не відомо алгоритму розв'язання цієї алгебричної задачі.

Якщо вузол оборотний і ахіральний, він повністю ахіральний. Найпростіший вузол з цією властивістю — вісімка. Хіральні оборотні вузли класифікуються як двосторонні[5].

Строго оборотні вузли

Більш абстрактний спосіб визначення оборотного вузла — сказати, що існує гомеоморфізм 3-сфери, що переводить вузол в себе, але змінює орієнтацію вузла на протилежну. Якщо використовувати замість гомеоморфізму більш строгу умову — інволюцію — отримаємо визначення строго оборотного вузла. Всі вузли з тунельним числом^[en] 1, такі як трилисник і вісімка, строго оборотні[6].

Необоротні вузли

Вузол 8_17, найпростіший з необоротних.

Найпростішим прикладом необоротного вузла є 8₁₇ (в позначеннях Александера — Бріггса) або .2.2 (в позначеннях Конвея). Мереживний вузол 7, 5, 3 необоротний, як і всі мереживні вузли виду (2 p+1), (2q+1), (2r+1), де p, q і r — різні цілі, що дає нескінченне сімейство вузлів, необоротність яких довів Троттер[7].

Див. також

• Хіральний вузол

Примітки

1. Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33–48.
2. Trotter, 1963, с. 275–280.
3. Murasugi, 2007, с. 45.
4. Kuperberg, 1996, с. 173–181.
5. Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013.
6. Morimoto, 1995, с. 3527—3532 Лемма 5.
7. Trotter, 1963, с. 275—280.

Література

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots : [арх. 15 грудня 2013] // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вип. 4. — doi:10.1007/BF03025227.
• H. F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — doi:10.1016/0040-9383(63)90011-9.
• Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications. — Springer, 2007. — ISBN 9780817647186.
• Greg Kuperberg. Detecting knot invertibility // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1996. — Т. 5, вип. 2. — arXiv:q-alg/9712048. — doi:10.1142/S021821659600014X.
• W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. — 2013. — arXiv:1312.3307.
• Kanji Morimoto. There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — Т. 123, вип. 11. — doi:10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4. — JSTOR 2161103.

Посилання

• Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Basic graph theory: Non-invertible knot and links [Архівовано 18 січня 2011 у Wayback Machine.], LinKnot.(англ.)
• Explanation with a video [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.], Nrich. Maths.org.