Вузол (математика)

Вісімка (вузол Лістинга)

Вузол у математиці — вкладення кола (двовимірної сфери) в тривимірний евклідів простір, розглянуте з точністю до ізотопії. Основний предмет вивчення теорії вузлів. Два вузли топологічно еквівалентні, якщо один з них можна деформувати в інший, причому в процесі деформації не повинно виникати самоперетинів.

Частковим випадком є питання про розпізнавання тривіальності того чи іншого вузла, тобто про те, чи є заданий вузол ізотопним тривіальному вузлу (чи можна його розв'язати).

Для визначення того, чи є конкретний вузол тривіальним, можна використовувати різні інваріанти вузлів, наприклад многочлен Александера або фундаментальну групу доповнення. Зазвичай їх можна порахувати виходячи з вузлової діаграми.

Класифікація

Трилисник, вузол ${\displaystyle 3_{1}}$ є першим нетривіальним вузлом і єдиним вузлом з числом перетинів 3. Він є простим і позначається номером 3₁ у нотації Александера — Бріггса. Нотація Довкера^[en] для трилисника — 4 6 2, а нотація Конвея трилисника — [3].

Трилисник нетривіальний, тобто його неможливо «розв'язати» в тривимірному просторі без розрізання. З математичної точки зору це означає, що трилисник не ізотопний тривіальному вузлу. Зокрема, не існує послідовності рухів Рейдемейстера, за допомогою яких вузол розв'язується.

Вісімка, чотириразовий вузол або вузол Лістинга, вузол ${\displaystyle 4_{1}}$ ― один з найпростіших нетривіальних вузлів. Вісімка позначається символом ${\displaystyle 4_{1}}$. Вперше розглянутий Лістингом, учнем Гаусса, в 1847 році.

Трилисник хіральний в тому сенсі, що трилисник відрізняється від свого дзеркального відображення. Два варіанти трилисника відомі як лівобічний і правобічний. Неможливо шляхом деформації лівобічний варіант безперервним чином перевести у правобічний або навпаки. Тобто, ці два трилисники не ізотопні.

Також, можна показати, що трилисник (як правий, так і лівий) неізотопний вісімці.

П'ятилисник, відомий також як вузол ${\displaystyle 5_{1}}$ у позначеннях Александера та Бріггса, вузол «перстач» і печатка Соломона, — це вузол, для якого число перетинів (мінімальне можливе число самоперетинів на діаграмі — плоскому малюнку — вузла) дорівнює п'яти.

Для багатокомпонентних вузлів у верхньому індексі зазначається кількість компонентів: наприклад, зачеплення двох кілець має символьний запис ${\displaystyle 2_{1}^{2}}$.

Це були приклади поліноміальних[1] вузлів. Неполіноміальним вузлом є дикий вузол[2]

Приклад дикого вузла.

Дикий вузол — вузол ${\displaystyle L}$ в евклідовому просторі ${\displaystyle E^{3}}$ такий, що не існує гомеоморфізму ${\displaystyle E^{3}}$ на себе, при якому ${\displaystyle L}$ переходить в замкнуту ламану, що складається зі скінченного числа відрізків.

Вузли та зачеплення

Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми ${\displaystyle \mu }$ примірників кола в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ або ${\displaystyle S^{3}}$ називається зачепленням кратності ${\displaystyle \mu }$.

Вузли, що входять до даного зачеплення, називають його компонентами.

Інваріанти вузлів

В теорії вузлів число перетинів вузла — це найменше число перетинів на будь-якій діаграмі вузла. Число перетинів є інваріантом вузла.

Наприклад, тривіальний вузол має нульове число перетинів, число перетинів трилисника дорівнює трьом, а число перетинів вісімки дорівнює чотирьом.

Іншими числовими інваріантами вузла є число мостів, коефіцієнт зачеплення, число відрізків і число розв'язування.

Доповнення вузла

6₂ Вузол

Теорема Гордона — Люкке^[en] стверджує, що доповнення вузла (як топологічного простору) є «повним інваріантом» вузла, в тому сенсі, що воно відрізняє заданий вузол від всіх інших з точністю до охоплювальної ізотопії^[ru] та дзеркального відображення. Серед інваріантів, пов'язаних з доповненням вузла, є група вузла, яка є просто фундаментальною групою його доповнення.

Див. також

• Зачеплення (теорія вузлів)
• Простий вузол (теорія вузлів)

Примітки

1. Armstrong, (1983), p. 215.
2. Livingstone, (1996), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.

Література

• Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — DOI:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
• P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
• C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
• Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец : Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
• Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
• Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
• Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика [Архівовано 29 липня 2019 у Wayback Machine.] // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М. : МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» [Архівовано 9 червня 2019 у Wayback Machine.] // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
• Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
• H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.
• Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вип. 7. — DOI:10.1142/S0218216504003524.
• Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вип. 4. — DOI:10.1112/jtopol/jtp028.
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry [Архівовано 29 липня 2019 у Wayback Machine.].(англ.)
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.(англ.)
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Knot Theory(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.