Теорія кіс

Приклад коси з трьома дугами.

Теорія кіс — розділ топології та алгебри, вивчає коси і групи кіс, складені з їхніх класів еквівалентності.

Визначення коси

Коса з ${\displaystyle n}$ ниток — об'єкт, що складається з двох паралельних площин ${\displaystyle P_{0}}$ і ${\displaystyle P_{1}}$ у тривимірному просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, які містять упорядковані множини точок ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in P_{0}}$ і ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in P_{1}}$і з ${\displaystyle n}$ роз'єднаних між собою простих дуг ${\displaystyle l_{1},l_{2},\dots ,l_{n}}$, які перетинають кожну паралельну площину ${\displaystyle P_{t}}$ між ${\displaystyle P_{0}}$ і ${\displaystyle P_{1}}$ одноразово і з'єднують точки ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ з точками ${\displaystyle \{b_{i}\}}$.

Зазвичай вважається, що точки ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ лежать на прямій ${\displaystyle l_{0}}$ в ${\displaystyle P_{0}}$, а точки ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}$ на прямій ${\displaystyle l_{1}}$ в ${\displaystyle P_{1}}$, паралельній ${\displaystyle l_{0}}$, причому ${\displaystyle a_{i}}$ розташовані під ${\displaystyle b_{i}}$ для кожного ${\displaystyle i}$.

Коси зображуються в проєкції на площину, що проходить через ${\displaystyle l_{0}}$ і ${\displaystyle l_{1}}$ця проєкція може бути зведена в загальне положення так, що є лише скінченне число подвійних точок, попарно розташованих на різних рівнях, і перетини трансверсальні.

Група кіс

У множині всіх кіс з n нитками і з фіксованими ${\displaystyle P_{0},P_{1},\{a_{i}\},\{b_{i}\}}$ вводиться відношення еквівалентності. Воно визначається гомеоморфізмами ${\displaystyle h:\Pi \to \Pi }$, де ${\displaystyle \Pi }$ — область між ${\displaystyle P_{0}}$ і ${\displaystyle P_{1}}$, тотожними на ${\displaystyle P_{0}\cup P_{1}}$. Коси ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ еквівалентні, якщо існує такий гомеоморфізм ${\displaystyle h}$, що ${\displaystyle h(\alpha )=\beta }$.

Класи еквівалентності, далі також звані косами, утворюють групу кіс ${\displaystyle B(n)}$. Одинична коса — клас еквівалентності, який містить косу з n паралельних відрізків. Коса ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$зворотна до коси ${\displaystyle \alpha }$, визначається відображенням у площині ${\displaystyle P_{1/2}}$

Нитка коси з'єднує ${\displaystyle a_{i}}$ з ${\displaystyle b_{j_{i}}}$ і визначає підстановку, елемент симетричної групи ${\displaystyle S_{n}}$. Якщо ця підстановка тотожна, то коса називається фарбованою (або чистою) косою. Це відображення задає епіморфізм ${\displaystyle B(n)}$ на групу ${\displaystyle S_{n}}$ перестановок n елементів, ядром якого є підгрупа ${\displaystyle K(n)}$, яка відповідає всім чистим косам, так що є коротка точна послідовність

${\displaystyle 0\to K(n)\to B(n)\to S_{n}\to 0}$

Сплетення

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — тензорна категорія. Сплетенням у ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ є структура комутування на ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, яка задовольняє двом співвідношенням:

${\displaystyle a_{U\otimes V,W}=(a_{U,W}\otimes 1_{V})(1_{V}\otimes a_{V,W}),}$

${\displaystyle a_{U,V\otimes W}=(1_{V}\otimes a_{U,W})(a_{U,V}\otimes 1_{W})}$

для усіх об'єктів ${\displaystyle U,V,W.}$

Якщо ${\displaystyle c}$ — сплетення у ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, то й ${\displaystyle c^{-1}}$ є сплетенням у ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Косовою моноїдальною категорією є моноїдальна категорія, оснащена сплетенням.

Нехай ${\displaystyle V}$ — векторний простір над ${\displaystyle k.}$ Рівняння Янга-Бакстера — рівняння для лінійного автоморфізму з простору ${\displaystyle V\otimes V:}$

${\displaystyle (a\otimes 1_{V})(1_{V}\otimes a)(a\otimes 1_{V})=(1_{V}\otimes a)(a\otimes 1_{V})(1_{V}\otimes a).}$

Це рівняння є рівністю елементів групи автоморфізмів ${\displaystyle V\otimes V\otimes V.}$ Його розв'язок називається ${\displaystyle R}$-матрицею.

Для векторного простору ${\displaystyle V}$ через ${\displaystyle \tau _{V,V}\in \mathrm {Aut} (V\otimes V)}$ позначимо оператор перестановки співмножників, який представляє дві копії цього простору. Він визначається співвідношенням

${\displaystyle \tau _{V,V}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{2}\otimes v_{1}\quad \forall v_{1},v_{2}\in V.}$

Оператор перестановки задовольняє рівнянню Янга-Бакстера, оскільки в симетричній групі виконується співвідношення Кокстера[1]

${\displaystyle R^{12}R^{23}R^{12}=R^{23}R^{12}R^{23},}$

де верхні індекси ${\displaystyle ij}$ визначають транспозицію, яка міняє ${\displaystyle i}$ та ${\displaystyle j.}$

Нехай ${\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}}$ — асоціативна алгебра із одиницею (над деяким алгебрично замкненим полем нульової характеристики ${\displaystyle \mathbb {k} }$), на якій визначена операція кодобутку ${\displaystyle \Delta ,}$ задані антипод ${\displaystyle S}$ та косий антипод ${\displaystyle S'}$ (тобто антипод для протилежного кодобутку ${\displaystyle \Delta ^{op}}$), а також одиниця ${\displaystyle e,}$ ${\displaystyle S^{-1}=S'.}$ ${\displaystyle (A,R)}$ є квазітрикутною супералгеброю Гопфа, якщо ${\displaystyle R}$ задовольняє квантовому рівнянню Янга-Бакстера:

${\displaystyle R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12},}$

а також співвідношенням[2]

${\displaystyle (S\otimes 1)(R)=(1\otimes S^{-1})(R)=R^{-1},}$

${\displaystyle (e\otimes 1)(R)=(1\otimes e)(R)=1,}$

${\displaystyle (S'\otimes 1)(R^{-1})=(1\otimes S'^{-1})(R^{-1})=R.}$

Див. також

• Теорія вузлів
• Група кіс

Примітки

1. Christian Kassel, Marc Rosso, Vladimir Turaev - Quantum and knot invariants.
2. Стукопин Владимир Алексеевич - Ангианы супералгебры Ли.

Література

• Сосинский А., Косы и узлы.^[недоступне посилання з вересня 2019] Квант № 2, 1989, стор. 6-14 (рос.)

Посилання

• Танець про теорію кіс - навряд чи ви коли небуть бачили щось подібне 2017р.