Мереживне зачеплення

Мереживний вузол (−2,3,7)^[en] має два правобічних скручення в першому сплетінні^[en], три лівобічних скручення в другому і сім лівобічних скручень у третьому.

В теорії вузлів мереживне зачеплення — це особливий вид зачеплення. Мереживні зачеплення, що є також вузлом (тобто зачепленням з однією компонентою), називається мереживним вузлом.

У стандартній проєкції мереживне зачеплення ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$[1] має ${\displaystyle p_{1}}$ лівобічних скручень у першому сплетенні[2], ${\displaystyle p_{2}}$ у другому і, в загальному випадку, ${\displaystyle p_{n}}$ у n-му.

Мереживне зачеплення можна описати як зачеплення Монтезіноса з цілим числом переплетень.

Деякі базові результати

Мереживне зачеплення ${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ є вузлом тоді і тільки тоді, коли і ${\displaystyle n}$, і всі ${\displaystyle p_{i}}$ є непарними або рівно одне з чисел ${\displaystyle p_{i}}$ парне[3].

Мереживне зачеплення ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ є розвідним^[en], якщо щонайменше два ${\displaystyle p_{i}}$ рівні нулю. Однак обернене твердження хибне.

Мереживне зачеплення ${\displaystyle (-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{n})}$ є відбиттям мереживного зачеплення ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$.

Мереживне зачеплення ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ еквівалентне (тобто гомотопічно еквівалентне на S^3) мереживному зачепленню ${\displaystyle (p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})}$. Тоді, також, мереживне зачеплення ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$ еквівалентне мереживному зачепленню ${\displaystyle (p_{k},\,p_{k+1},\dots ,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{k-1})}$[3].

Мереживне зачеплення ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$ еквівалентне мереживному зачепленню ${\displaystyle (p_{n},\,p_{n-1},\dots ,\,p_{2},\,p_{1})}$. Однак якщо орієнтувати зачеплення в канонічному вигляді, ці два зачеплення мають протилежну орієнтацію.

Приклади

Трилисник

Мереживний вузол (1, 1, 1) — це (правобічний) трилисник, а вузол (-1, -1, -1) є його дзеркальним відбиттям.

Стивідорний
вузол

Мереживний вузол (5, -1, -1) — це стивідорний вузол (6₁).

Якщо p, q і r є різними непарними числами, більшими від 1, то мереживний вузол (p, q, r) є необоротним.

Мереживне зачеплення (2p, 2q, 2r) — це зачеплення, утворене трьома пов'язаними тривіальними вузлами.

Мереживний вузол (-3, 0, -3) (прямий вузол) є зв'язною сумою двох трилисників.

Мереживне зачеплення (0, q, 0) — це розвідне зачеплення тривіального вузла з іншим вузлом.

Зачеплення Монтесіноса

Зачеплення Монтесіноса. У цьому прикладі ${\displaystyle e=-3}$, ${\displaystyle \alpha _{1}/\beta _{1}=-3/2}$ і ${\displaystyle \alpha _{2}/\beta _{2}=5/2}$ .

Зачеплення Монтесіноса — це особливий вид зачеплення, що узагальнює мереживні зачеплення (мереживне зачеплення можна вважати зачепленням Монтесіноса з цілими переплетеннями). Зачеплення Монтесіноса, що є також вузлом (тобто, зачепленням з однією компонентою), є вузлом Монтесіноса.

Зачеплення Монтесіноса складається з декількох раціональних сплетень. Одним з позначень зачеплення Монтесіноса є ${\displaystyle K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n})}$ [4].

В цих позначеннях ${\displaystyle e}$ і всі ${\displaystyle \alpha _{i}}$ і ${\displaystyle \beta _{i}}$ є цілими числами. Зачеплення Монтесіноса, задане таким позначенням, складається з суми раціональних сплетень, заданих цілим числом ${\displaystyle e}$, і раціональних сплетень ${\displaystyle \alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n}}$

Використання

Їстівний мереживний вузол (-2,3,7)

Мереживні зачеплення (-2, 3, 2n + 1) особливо корисні для вивчення 3-многовидів^[en]. Зокрема, для цих многовидів багато результатів встановлено на основі хірургії Дена^[en] на мереживному вузлі (−2,3,7).

Гіперболічний об'єм доповнення мереживного зачеплення (−2,3,8) дорівнює збільшеній в 4 рази сталій Каталана, приблизно 3,66. Це мереживне зачеплення є одним з двох гіперболічних многовидів з двома каспами з мінімальними можливими об'ємами, другий многовид є доповненням зачеплення Вайтгеда2010.

Примітки

1. Використано нотацію Конвея для вузлів з доданням дужок для зручності.
2. Замість «сплетення» також кажуть «тангл» або «зв'язка».^[уточнити]
3. Kawauchi, 1996.
4. Zieschang, 1984, с. 378–389.

Література

• Ian Agol. The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2010. — Т. 138, вип. 10. — DOI:10.1090/S0002-9939-10-10364-5.

Література для подальшого читання

• Hale F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — С. 272—280.
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
• Heiner Zieschang. Classification of Montesinos knots // Topology ; General and Algebraic Topology, and Applications. Proceeding of the International Topological Conference held in Leningrad, August 23-27, 1982 / A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D.Faddeev, Arkadii A. Mal’cev. — Berlin Heidelberg : Springer, 1984. — Т. 1060. — (Lecture Notes in Mathematics/USSR). — ISBN 3-540-13337-2. — ISBN 0-387-13337-2.