Сателітний вузол

В математичній теорії вузлів сателітний вузол — це вузол, що містить у своєму доповненні нестисний^[en] тор, що не є ∂-паралельним^[en][1]. Кожен вузол є або гіперболічним, або торичним, або сателітним. До класу сателітних вузлів належать складені вузли, кабельні вузли та дублі Вайтгеда. (Див. означення останніх двох класів нижче в розділі Основні сімейства). Сателітне зачеплення — це зачеплення, яке обертається навколо супровідного вузла K в тому сенсі, що воно лежить усередині його регулярного околу[2].

Приклад 1. Сума трилисника і вісімки.

Сателітний вузол ${\displaystyle K}$ можна наочно описати так: візьміть нетривіальний вузол ${\displaystyle K'}$, що лежить всередині незавузленого повнотора ${\displaystyle V}$. Тут «нетривіальний» означає, що вузол ${\displaystyle K'}$ не може лежати в 3-сфері, яка міститися у ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle K'}$ не може бути ізотопним центральній кривій суцільного тора. Потім повнотор зав'яжіть у нетривіальний вузол.

Приклад 2. Дубль Вайтгеда вісімки.

Це означає, що існує нетривіальне вкладення ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ і ${\displaystyle K=f(K')}$. Центральна крива повнотора ${\displaystyle V}$ переходить на вузол ${\displaystyle H}$, який називається «супровідним вузлом»[3] і грає роль планети, навколо якої облітає «сателітний вузол» ${\displaystyle K}$. Побудова гарантує, що ${\displaystyle f(\partial V)}$ — не ∂-паралельний^[en] нестисливий тор у доповненні до ${\displaystyle K}$. Складені вузли містять особливий вид нестисного тора — охопно-ковзний^[уточнити] (англ. swallow-follow torus) — який охоплює один доданок та проходить уздовж іншого.

Приклад 3: Кабельна сума

Якщо ${\displaystyle V}$ — незавузлений повнотор, то ${\displaystyle S^{3}\setminus V}$ є трубчастим околом безвузла ${\displaystyle J}$. Двокомпонентне з'єднання ${\displaystyle K'\cup J}$ разом із вкладенням ${\displaystyle f}$ називається шаблоном, пов'язаним із сателітною операцією.

Домовленість: зазвичай вимагається, що вбудовування ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ розкручене в тому сенсі, що ${\displaystyle f}$ необхідно надіслати стандартну довготу ${\displaystyle V}$ до стандартної довготи ${\displaystyle f(V)}$. Іншими словами, для будь-яких двох неперетинних кривих ${\displaystyle c_{1},c_{2}\subset V}$, ${\displaystyle f}$ зберігає їхні числа зв'язків, тобто: ${\displaystyle lk(f(c_{1}),f(c_{2}))=lk(c_{1},c_{2})}$.

Основні сімейства

Якщо ${\displaystyle K'\subset \partial V}$ — торичний вузол, то ${\displaystyle K}$ називають кабельним вузлом. Приклади 3 і 4 є кабельними вузлами.

Якщо ${\displaystyle K'}$ — нетривіальний вузол в ${\displaystyle S^{3}}$ і якщо диск стиснення для ${\displaystyle V}$ перетинає ${\displaystyle K'}$ рівно в одній точці, то ${\displaystyle K}$ називають сумою підключення. Іншими словами, візерунок ${\displaystyle K'\cup J}$ є сумою нетривіального вузла ${\displaystyle K'}$ з зачеплення Гопфа.

Якщо зачеплення ${\displaystyle K'\cup J}$ — зачеплення Вайтгеда, то ${\displaystyle K}$ називають дублем Вайтгеда. Якщо ${\displaystyle f}$ розкручений, ${\displaystyle K}$ називають розкрученим дублем Вайтгеда.

Приклади

Приклад 1: Сума з'єднання вузла-вісімки і трилистника.

Приклад 2: Розкручений дубль Вайтгеда вісімки.

Приклад 3: Кабельна сума.

Приклад 4: Кабельний трилисник.

Приклади 5 і 6 є варіантами однієї конструкції. Обидва вони мають у своїх доповненнях два непаралельних, не ∂-паралельних нестисливих тори, що розбивають доповнення на об'єднання трьох многовидів. У прикладі 5 ці многовиди: доповнення кілець Борромео, доповнення трилисника та доповнення вісімки. У прикладі 6 доповнення до вісімки замінено ще одним доповненням трилисника.

Приклад 4. Кабельний трилисник.

Приклад 5. Вузол, який є дворазово сателітним, оскільки він має непаралельні охопно-ковзні тори.

Приклад 6. Вузол, який є дворазово сателітним, оскільки має непаралельні охопно-ковзні тори.

Походження

1949 року[4] Горст Шуберт^[en] довів, що кожен орієнтований вузол в ${\displaystyle S^{3}}$ розкладається як сума простих вузлів унікальним способом, аж до переупорядкування, роблячи моноїд орієнтованих ізотопічних класів вузлів у ${\displaystyle S^{3}}$ вільним комутативним моноїдом на зліченно-нескінченній кількості твірних. Незабаром після цього він зрозумів, що може надати нове доведення своєї теореми шляхом ретельного аналізу нестисливих торів, присутніх у доповненні суми. Це привело його до вивчення нестисливих торів у доповненнях вузлів у його відомій роботі Knoten und Vollringe[5], де він визначив сателітні та супровідні вузли.

Подальші роботи

Демонстрація Шубертом того, що нестисливі тори відіграють важливу роль у теорії вузлів, була однією з ранніх ідей, що привели до об'єднання теорії 3-многовидів^[en] і теорії вузлів. Це привернуло увагу Вальдгаузена^[de], який пізніше використав нестисливі поверхні, щоб показати, що великий клас 3-многовидів гомеоморфний тоді і тільки тоді, коли їхні фундаментальні групи ізоморфні.[6] Вальдгаузен припустив розклад 3-многовидів уздовж сфер і нестисливих торів, відомий зараз як розклад 3-многовидів Жако — Шалена — Йогансона^[en]. Пізніше це стало основним компонентом розвитку геометризації, яку можна розглядати як часткову класифікацію 3-вимірних многовидів. Відгалуження теорії вузлів вперше описано в довго не публікованому рукописі Бонахона і Зібенмана^[en][7].

Унікальність сателітної декомпозиції

У роботі Knoten und Vollringe Шуберт довів, що в деяких випадках існує по суті унікальний спосіб подати вузол як сателітний. Але є також багато відомих прикладів, коли розклад не є унікальним[8]. З належним чином розширеним поняттям сателітної операції, що називається сплайсингом, розклад Жако — Шалена — Йогансона дає відповідну теорему унікальності для сателітних вузлів.[9][10]

Див. також

• Гіперболічний вузол
• Торичний вузол

Примітки

1. Colin Adams, The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, (2001), ISBN 0-7167-4219-5
2. Переклад "regular neighborhood" у словнику. Процитовано 3 березня 2021.
3. Переклад "companion knot" у словнику. Процитовано 3 березня 2021.
4. Schubert, H. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57–104.
5. Schubert, H. Knoten und Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131—286.
6. Waldhausen, F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large.Ann. of Math. (2) 87 (1968), 56–88.
7. F.Bonahon, L.Siebenmann, New Geometric Splittings of Classical Knots, and the Classification and Symmetries of Arborescent Knots,
8. Motegi, K. Knot Types of Satellite Knots and Twisted Knots. Lectures at Knots '96. World Scientific.
9. Eisenbud, D. Neumann, W. Three-dimensional link theory and invariants of plane curve singularities. Ann. of Math. Stud. 110
10. Budney, R. JSJ-decompositions of knot and link complements in S³. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3–4 (2006). arXiv: math.GT/0506523