Стрічковий вузол

Прямий вузол, поданий у вигляді стрічкового вузла

В теорії вузлів стрічковий вузол — це вузол, який обмежує круг з самоперетинами тільки зі стрічковими особливостями. Інтуїтивно, цей вид особливості можна утворити шляхом виконання розрізу в крузі і пропусканням іншої частини круга через розріз. Більш формально, цей тип особливості полягає в самоперетинанні по дузі. Прообраз цієї дуги складається з двох дуг круга, одна з яких повністю лежить всередині круга, а кінці іншої розташовані на краю круга.

Теорія Морса

Січний круго M — це гладке вкладення ${\displaystyle D^{2}}$ в ${\displaystyle D^{4}}$ з ${\displaystyle M\cap \partial D^{4}=\partial M\subset S^{3}}$. Розглядаючи функцію ${\displaystyle f:D^{4}\to \mathbb {R} }$, задану формулою ${\displaystyle f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$, шляхом невеликої ізотопії M можна домогтися, щоб f була функцією Морса на M. Можна сказати, що ${\displaystyle \partial M\subset \partial D^{4}=S^{3}}$ є стрічковим вузлом, якщо ${\displaystyle f_{|M}:M\to \mathbb {R} }$ не має внутрішнього локального максимуму.

Гіпотеза про зрізану стрічку

Відомо, що будь-який стрічковий вузол є зрізаним. Відома відкрита проблема, поставлена Фоксом^[en], — гіпотеза про зрізану стрічку, ставить зворотне питання: чи є кожен зрізаний вузол стрічковим?

Ліска[1] показав, що гіпотеза істинна для вузлів з числом мостів 2. Ґрін і Ябука[2] показали, що це виконується для триниткових мереживних зачеплень. Однак Гомпф, Шарлеман і Томпсон[3] припустили, що гіпотеза може бути й хибною, і запропонували колекції вузлів, які можуть стати контрприкладами.

Примітки

1. Lisca, 2007.
2. Greene, Jabuka, 2011.
3. Gompf, Scharlemann, Thompson, 2010.

Література

• Ralph Fox. Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961). — Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall, 1962. — С. 168—176.. Перевидано в Dover Books, 2010.
• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вип. 4 (25 грудня). — С. 2305—2347. — DOI:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Joshua Greene, Stanislav Jabuka. The slice-ribbon conjecture for 3-stranded pretzel knots // American Journal of Mathematics. — 2011. — Т. 133, вип. 3 (25 грудня). — С. 555—580. — arXiv:0706.3398. — DOI:10.1353/ajm.2011.0022.
• Louis H. Kauffman. On Knots. — Princeton, NJ : Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies) — ISBN 0-691-08434-3.
• Paolo Lisca. Lens spaces, rational balls and the ribbon conjecture // Geometry & Topology. — 2007. — Т. 11 (25 грудня). — С. 429—472. — DOI:10.2140/gt.2007.11.429.