Кубическая функция

График кубической функции

Куби́ческая фу́нкция в математике — это числовая функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ вида

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\quad x\in \mathbb {R} ,}$

где ${\displaystyle a\neq 0.}$ Другими словами, кубическая функция задаётся многочленом третьей степени.

Аналитические свойства

Производная кубической функции ${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ имеет вид ${\displaystyle f'(x)=3ax^{2}+2bx+c}$. В случае, когда дискриминант ${\displaystyle {\frac {D}{4}}=b^{2}-3ac}$ полученного квадратного уравнения ${\displaystyle f'(x)=0}$ больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции ${\displaystyle f}$. При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной ${\displaystyle f''}$ определяет точку перегиба ${\displaystyle x=-b/3a}$.

График

График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции ${\displaystyle y=ax^{3}}$ или ${\displaystyle y=x^{3}}$. Легко видеть, что, применяя параллельный перенос, можно привести кубическую параболу к виду, когда она будет задаваться уравнением ${\displaystyle y=ax^{3}-px}$. Путём применения аффинных преобразований плоскости можно добиться, чтобы ${\displaystyle a=1}$ и ${\displaystyle p=0}$. В этом смысле все определения будут эквивалентны.

Кроме того, кубическая парабола

• центрально-симметрична относительно точки перегиба,
• всегда пересекает линию абсцисс хотя бы в одной точке,
• не имеет общих точек со своей касательной в точке перегиба, кроме как в самой точке касания.

Поведение графика при изменении коэффициентов

Коэффициент при кубе	Коэффициент при квадрате	Коэффициент при первой степени

Коллинеарность

Касающиеся прямые в трёх коллинеарных точках графика кубической функции пересекают график снова в коллинеарных точках.[1]

Применение

Кубическую параболу иногда применяют для расчёта переходной кривой на транспорте, так как её вычисление намного проще, чем построение клотоиды.

См. также

• Парабола
• Кубика
• Кубическое уравнение
• Сплайн

Примечания

1. Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books Архивная копия от 24 марта 2016 на Wayback Machine

Литература

• Л. С. Понтрягин, Кубическая парабола // «Квант», 1984, № 3.
• И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев, «Справочник по математике», издательство «Наука», М. 1967, с. 84