Роза (плоская кривая)

Общий вид полярной розы, задаваемой уравнением ${\displaystyle \rho =\sin k\varphi }$, при различных значениях ${\displaystyle k={n \over d}}$

Ро́за — плоская кривая, напоминающая символическое изображение цветка.

История

Впервые об этой кривой упоминает флорентийский монах Гвидо Гранди в двух письмах Лейбницу в декабре 1713 года[1][2] и называет её «розовидной»[3] («rhodonea»[1], от др.-греч. ῥόδον — «роза»). Через десять лет он опубликовал статью о ней в «Философских трудах Королевского общества», где рассмотрел разновидности этой кривой с различным количеством лепестков и также называл их «розовидными»[4]. Ещё через пять лет Гвидо Гранди развил теорию розовидных кривых в отдельном труде, где наряду с этим рассмотрел похожие на них пространственные кривые, лежащие на сфере, которые он назвал «клелиями» в честь княгини Клелии Борромео[5][3][2].

Описание

Данная кривая описывается уравнением в полярной системе координат в виде

${\displaystyle \rho =a\sin k\varphi \,.}$

Здесь ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle k}$ — постоянные, определяющие размер (a) и количество лепестков (k) данной розы. Вся кривая располагается внутри окружности радиуса ${\displaystyle a}$ и в случае ${\displaystyle k>1}$ состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Количество лепестков в данном случае определяется величиной ${\displaystyle k}$.

Для целого ${\displaystyle k}$ число лепестков равно ${\displaystyle k}$, если ${\displaystyle k}$ нечётное и ${\displaystyle 2k}$, — если чётное. Для дробного ${\displaystyle k}$ вида ${\displaystyle k={\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ взаимно простые, количество лепестков розы равно ${\displaystyle m}$, если оба числа нечётные и ${\displaystyle 2m}$, если хотя бы одно — чётно. При ${\displaystyle k}$ иррациональном лепестков бесконечно много.

При значениях ${\displaystyle k>1}$ роза является гипотрохоидой, а при ${\displaystyle k<1}$ — эпитрохоидой.

См. также

• Квадрифолий
• Кривая Рибокура
• Синусоидальная спираль
• Спирограф (игрушка)
• Улитка Паскаля

Примечания

1. Leibnizens matematische Schriften herausgegeben von C. I. Gerhardt. — Halle, 1859. — Vol. IV. — С. 221-224.
2. Loria, 1902, p. 298.
3. Александрова, 2008, с. 157.
4. Grandi G. Florum Geometricorum Manipulus (англ.) // Philosophical Transactions : journal. — 1723. — Vol. 32. — P. 355—371. — doi:10.1098/rstl.1722.0070.
5. Grandi G. Flores geometrici ex rhodonearum et cloeliarum curvarum descriptione resultantes. — Florentiae, 1728.

Литература

• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Loria, Gino. Achtes Kapitel. Die Rhodoneen (Rosenkurven) von G. Grandi // Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — P. 297—306.