Эпитрохоида

Эпитрохо́ида (от греч. ἐπί — на, над, при и греч. τροχός — колесо) — плоская кривая, образуемая точкой, жёстко связанной с окружностью, катящейся по внешней стороне другой окружности.

Эпитрохоида с R = 3, r = 1 и h = 1/2

Уравнения

Параметрические уравнения:

${\displaystyle x=R(m+1)\cdot \cos(mt)-h\cdot \cos((m+1)t)}$

${\displaystyle y=R(m+1)\cdot \sin(mt)-h\cdot \sin((m+1)t)}$

где ${\displaystyle m={\frac {r}{R}}}$; ${\displaystyle R}$ — радиус неподвижной окружности; ${\displaystyle r}$ — радиус катящейся окружности; ${\displaystyle h}$ — расстояние от центра катящейся окружности до точки.

Частным случаем эпитрохоиды (r=h) является эпициклоида.

Примеры

Если ${\displaystyle h=r}$, эпитрохоида образует эпициклоиду. Если ${\displaystyle h>r}$, получаемую фигуру называют удлинённой эпициклоидой, а при ${\displaystyle h<r}$ — укороченной эпициклоидой

Собственные имена получили ещё два варианта эпитрохоиды:

• ${\displaystyle r=R}$ (${\displaystyle m=1}$) — улитка Паскаля
• ${\displaystyle h=R+r}$ — роза

• 
  Удлиненная эпитрохоида при значениях ${\displaystyle m=0.2}$, ${\displaystyle h=0.3}$
• 
  Укороченная эпитрохоида при значениях ${\displaystyle m=0.2}$, ${\displaystyle h=0.1}$
• 
  Улитка Паскаля (эпитрохоида при значениях ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle h=1.5}$
• 
  Роза (эпитрохоида при значениях ${\displaystyle m=1/6}$, ${\displaystyle h=1+1/6}$)

См. также

• Трохоида
• Гипотрохоида