Антиподера

Обзорная статья: Подера

Парабола — антиподера прямой

Антиподе́ра (фр. antipodaire, от др.-греч. άντί- — против и подера[1][2]; англ. antipedal[3]) кривой относительно точки — кривая, для которой данная кривая есть подера относительно той же точки[1][2][4][5].

Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы[6][4], как показано на рисунке справа.

Антиподера кривой есть инверсия этой кривой с последующим полярным преобразование кривой, полюсы которых совпадают с полюсом антиподеры. Также антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии этой кривой, полюсы которых совпадают с полюсом антиподеры[7].

Полное определение антиподеры

Окружность — антиподера улитки Паскаля

Антиподе́ра, или отрицательная подера, или первая отрицательная подера[8][4] ( англ. antipedal[3][9]; negative pedal; first negative pedal), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая[10][2][4]. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой, которая называется полюсом[6][11], или центром[12], или точкой подеры[8][13].

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры[14].

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой[14][4].

Антриподе́ры степене́й вы́ше пе́рвой определяются как антиподеры антиподер предыдущей степени с одним и тем же полюсом[8].

• Антиподеры секстики Кэли и подеры кубики Чирнгауза шести степеней
• 
  Кардиоида — 1-я антиподера секстики Кэли^[англ.] — 6-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Окружность — 2-я антиподера секстики Кэли, кардиоида — 5-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Точка — 3-я антиподера секстики Кэли, окружность — 4-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Прямая — 4-я антиподера секстики Кэли, точка — 3-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Парабола — 5-я антиподера секстики Кэли, прямая — 2-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Кубика Чирнгауза — 6-я антиподера секстики Кэли, парабола — 1-я подера кубики Чирнгауза

Определение антиподеры через инверсию

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утверждения[15]:

• антиподера кривой есть инверсия с последующим полярным преобразованием кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры;
• антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры.

Уравнения антиподеры

Параметрические уравнения антиподеры

Параметрические уравнения антиподеры на вещественной плоскости

В общем случае, для параметрически заданной кривой ${\displaystyle \mathbf {z} (t)=(x(t),\;y(t))}$, имеющей производную ${\displaystyle \mathbf {z} '(t)=(x'(t),\;y'(t))}$, антиподера

${\displaystyle \operatorname {antipedal} [\mathbf {z} ,\;\mathbf {z} _{0}](t)=\mathbf {Z} (t)=(X(t),\;Y(t))}$

относительно точки ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(x_{0},\;y_{0})}$ задаётся следующими уравнениями[13]:

${\displaystyle X={\frac {((x-x_{0})x-(y-y_{0})^{2})y'-(2x-x_{0})(y-y_{0})x'}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}=}$

${\displaystyle =2x-x_{0}-y'{\frac {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}=}$

${\displaystyle =x-(y-y_{0}){\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}},}$

${\displaystyle Y={\frac {-((y-y_{0})y-(x-x_{0})^{2})x'+(2y-y_{0})(x-x_{0})y'}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}=}$

${\displaystyle =2y-y_{0}+x'{\frac {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}=}$

${\displaystyle =y+(x-x_{0}){\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}.}$

Эти основные уравнения[16] можно принять за определение антиподеры[17].

Доказательство[13]

Уравнение прямой ${\displaystyle (X(t),\;Y(t))}$, проходящей через две точки:

• полюс антиподеры ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$,
• текущую точку исходной кривой ${\displaystyle (x,\;y)}$,

есть

${\displaystyle {\frac {Y-y}{y_{0}-y}}={\frac {X-x}{x_{0}-x}},}$

или

${\displaystyle Y-y={\frac {y_{0}-y}{x_{0}-x}}(X-x).}$

Тогда уравнение перпендикулярной прямой, проходящей через текущую точку исходной кривой ${\displaystyle (x,\;y)}$

${\displaystyle Y-y=-{\frac {x_{0}-x}{y_{0}-y}}(X-x).}$

Антиподера исходной кривой — огибающая семейства кривых

${\displaystyle U(X,\;Y,\;t)=Y-y+{\frac {x_{0}-x}{y_{0}-y}}(X-x)=0}$ —

определяется системой уравнений

${\displaystyle U(X,\;Y,\;t)={\frac {\partial U(X,\;Y,\;t)}{\partial t}}=0.}$

Находим:

${\displaystyle {\frac {\partial U(X,\;Y,\;t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(Y-y+{\frac {x_{0}-x}{y_{0}-y}}(X-x))=}$

${\displaystyle =-y'-X{\frac {x'}{y_{0}-y}}+X{\frac {(x_{0}-x)y'}{(y_{0}-y)^{2}}}-}$

${\displaystyle {}-{\frac {(x_{0}-x)x'}{y_{0}-y}}+{\frac {xx'}{y_{0}-y}}-{\frac {(x_{0}-x)xy'}{(y_{0}-y)^{2}}}=0,}$

${\displaystyle X((x_{0}-x)y'-(y_{0}-y)x')=}$

${\displaystyle =(y_{0}-y)(x_{0}-x)x'-(y_{0}-y)xx'+}$

${\displaystyle {}+(x_{0}-x)xy'+(y_{0}-y)^{2}y',}$

${\displaystyle X={\frac {((x-x_{0})x-(y-y_{0})^{2})y'-(2x-x_{0})(y-y_{0})x'}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}.}$

${\displaystyle Y=y-{\frac {x_{0}-x}{y_{0}-y}}(X-x)=}$

${\displaystyle =y+{\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}(y-y_{0}){\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}=}$

${\displaystyle =y+(x-x_{0}){\frac {(x-x_{0})x'+(y-y_{0})y'}{(x-x_{0})y'-(y-y_{0})x'}}.}$

В частном случае, относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;0)}$ в начале координат, основные уравнения будут такими[13]:

${\displaystyle X={\frac {(x^{2}-y^{2})y'-2xyx'}{xy'-yx'}}=}$

${\displaystyle =2x-y'{\frac {x^{2}+y^{2}}{xy'-yx'}}=}$

${\displaystyle =x-y{\frac {xx'+yy'}{xy'-yx'}},}$

${\displaystyle Y={\frac {-(y^{2}-x^{2})x'+2xyy'}{xy'-yx'}}=}$

${\displaystyle =2y+x'{\frac {x^{2}+y^{2}}{xy'-yx'}}=}$

${\displaystyle =y+x{\frac {xx'+yy'}{xy'-yx'}}.}$

Примеры антиподеры

• Парабола — антиподера прямой.

Примечания

1. Антиподера, 1988.
2. Подера и антиподера, 1975.
3. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Contents, p. IX.
4. Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746, 1998, Органическое описание кривых, с. 131.
5. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 153.
6. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 64.
7. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 152, 153.
8. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.4. Pedal curves, p. 46.
9. Ferréol Robert. Pedal of a Curve, 2017.
10. Иванов А. Б. Подера, 1984.
11. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 2.4. Pedal curves, p. 2.
12. Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования, 1963, 8.4. Подерное преобразование, с. 134.
13. Weisstein Eric W. Negative Pedal Curve, 2024.
14. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия, 1981, с. 33.
15. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 152—153.
16. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 150.
17. Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, 2006, 4.6 Pedal Curves, p. 113.

Источники

• Антиподера // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 75.
• Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. С. А. Каменецкого. 3-е изд. М.: Наука, 1981. 144 с., ил.
• Иванов А. Б. Подера // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 370.
• Коренцова М. М. Колин Маклорен. 1698—1746. М.: Наука, 1998. 144 с., ил. (Научно-биографическая литература.) ISBN 5-02-003691-9.
• Подера и антиподера // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. с илл., 17 л. илл., 4 л. карт. С. 109.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Яглом И. М., Атанасян Л. С. Геометрические преобразования // Энциклопедия элементарной математики, книга четвёртая — геометрия / Гл. ред. П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. Ред. книги 4: В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. М.: Физматгиз, 1963. 568 с., ил. С. 49—158.
• Alfred Gray. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. Third Edition by Elsa Abbena and Simon Salamon. Studies in Advanced Mathematics: Chapman and Hall/CRC, 2006. 982 p.
• Ferréol Robert. Pedal of a Curve // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 10 апреля 2023 на Wayback Machine
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
• Weisstein Eric W. Negative Pedal Curve // Wolfram MathWorld Архивная копия от 30 ноября 2022 на Wayback Machine
• Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.