Конхоида

Основная статья: Конхоидное преобразование

Две ветви конхоиды окружности с общим центром

Конхо́ида криво́й (англ. conchoid; conchoidal curve, от др.-греч. κονχοειδής — похожий на раковину) — плоская кривая, геометрическое место преобразованных концов — конхоид — радиус-векторов каждой точки исходной плоской кривой, причём эти радиус-векторы увеличены (одна ветвь конхоиды) или уменьшены (другая ветвь конхоиды) на постоянную величину ${\displaystyle l}$. Если уравнение исходной кривой в полярной системе координат ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )}$, то уравнение её конхоиды ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )+l}$[1][2][3][4].

Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат ${\displaystyle (0,\,0)\,}$), а постоянная величина приращения радим-вектора ${\displaystyle l\,}$ — модулем конхоиды[4].

Для получения новых плоских кривых — конхоид из старых — директрис[5], или базисов[6], используется конхоидное преобразование, при этом уравнение конхоиды могут записать в виде

${\displaystyle r'=r\pm l,\,}$ ${\displaystyle l>0,\,}$ ${\displaystyle \varphi =\varphi .}$

Говорят о двух ветвях конхоиды, соответствующих[7][8]:

• либо прибавлению и вычитанию ${\displaystyle l}$ — положительной константы:
• либо прибавлению этой константы в противоположных направлениях.

Конхоидальный циркуль

Построение конхоиды Никомеда

Для вычерчивания конхоиды Никомеда служит прибор конхоидограф, или конхоидальный циркуль[9].

Конхоидальные циркули бывают разных конструкций. Опишем устройство конхоидографа, показанного на рисунке справа. Основанием конхоидального циркуля служит прямоугольный планшет. Горизонтально посередине планшета укреплена вытянутая рамка, которая служит директрисой коноиды Никомеда — прямой. В середине этой рамки находится муфта, свободно движущаяся вдоль рамки и снабжённая стерженьком. Под серединой рамки на другом стерженьке закреплена другая муфта, в которую вставлена рейка. Поэтому рейка может вращаться вокруг стерженька своей муфты и двигаться вдоль этой муфты. На другом конце рейки закреплено чертящее остриё, а на расстоянии ${\displaystyle l}$ от этого конца — шайбочка, при помощи которой рейка надевается на стерженёк муфты рамки. При вращении рейки и движении её вдоль второй муфты чертящее остриё нарисует верхнюю вервь конхоиды Никомеда[9].

Примеры

• Конхоида прямой — конхоида Никомеда[1][2].
• Конхоида окружности — конхоида окружности[10].
• Конхоида окружности с полюсом на окружности — улитка Паскаля[1][2].
• Конхоида спирали Ферма — параболическая спираль[2][11].
• Конхоида розы — двойная линия[12].
• Конхоида архимедовой спирали — неоида[13].
• Конхоида гиперболической спирали — конхоида гиперболической спирали[14].
• Конхоида строфоиды с полюсом на вершине петли — строфоида[4].
• Конхоида Архимедовой спирали с полюсом в её центре — Архимедова спираль, изометрическая исходной[4].
• Конхоида коники с полюсом в фокусе — кривая Ержабека[4].

Примечания

1. Соколов Д. Д. Конхоида кривой, 1979.
2. Конхоида кривой, 1988.
3. Конхоида, 1973.
4. Ferréol Robert. Conchoid, 2017.
5. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154.
6. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 104.
7. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, XI. Pedals and other derived curves. 3. Limacon, conchoid, с. 154; 287.
8. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 100.
9. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 1. Конхоида Никомеда, с. 103.
10. jan wassenaar conchoid, 2013.
11. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 3. Алгебраические спирали, с. 201.
12. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 15. Овалы Мюнгера, с. 179.
13. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 2. Спираль Архимеда, с. 194.
14. Савелов А. А. Плоские кривые, 1960, § 3. Алгебраические спирали, с. 198.

Источники

• Конхоида // Большая советская энциклопедия. (В 30 томах) Гл. ред. А. М. Прохоров. Изд. 3-е. М.: «Советская энциклопедия», 1973. Т. 13. Конда — Кун. 1973. 608 с. с илл., 21 л. илл., 6 л. карт. С. 88.
• Конхоида кривой // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 292.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Соколов Д. Д. Конхоида кривой // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 1101.
• Ferréol Robert. Conchoid // ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES Архивная копия от 6 марта 2023 на Wayback Machine
• jan wassenaar conchoid // mathematical curves Архивная копия от 4 октября 2023 на Wayback Machine
• Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.