Конхоида Никомеда

Три конхоиды прямой с общим красным центром, красная ${\displaystyle \ell =a/2}$, зелёная ${\displaystyle \ell =a}$ и синяя ${\displaystyle \ell =2a}$

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, то есть кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь — уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину ${\displaystyle \ell }$; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название происходит от др.-греч. κογχοειδής — «похожий на раковину»[1].

Построение

Построение конхоиды Никомеда

Пусть на плоскости выбрана прямая m и точка O, отстоящая от прямой на расстояние a. Проведём через точку O луч, пересекающий прямую m в некоторой точке N; точки M₁ и M₂, лежащие на луче ON и отстоящие от точки N на заранее выбранное расстояние l, будут точками конхоиды. Меняя направление луча ON, можно построить всю конхоиду[1].

Уравнения

Декартовы координаты

Если центр конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением ${\displaystyle y+a=0}$ в декартовых прямоугольных координатах, то уравнение конхоиды имеет вид

${\displaystyle \ell ^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})(y+a)^{2}}$

Начало координат является двойной точкой, характер которой зависит от величин ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \ell }$:

• при ${\displaystyle \ell <a}$ ― изолированная точка
• при ${\displaystyle \ell >a}$ ― узловая точка
• при ${\displaystyle \ell =a}$ ― точка возврата

Полярные координаты

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии ${\displaystyle a}$ от прямой, которая смещается вдоль радиус-вектора на расстояние ${\displaystyle l}$, уравнение конхоиды имеет вид[1]

${\displaystyle r={\frac {a}{\cos \varphi }}\pm \ell .}$

История

Кривая названа по имени Никомеда (III—II века до н. э.), который применял её для решения задачи о трисекции угла и удвоения куба[1].

Примечания

1. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.

Литература

• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Савёлов А. А. Плоские кривые. Физматгиз, 1960.
• Конхоида // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 150-151. — 352 с.