Суперэллипс

Суперэллипс при n = 1/2, a = b = 1

Суперэллипс при n = 3/2, a = b = 1

Сквиркл, суперэллипс при n = 4, a = b = 1

Суперэллипс (кривая Ламе) — геометрическая кривая, задаваемая в декартовых координатах уравнением

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$

где n, a и b — положительные числа.

Формула задаёт замкнутую кривую, ограниченную прямоугольником −a ≤ x ≤ +a и −b ≤ y ≤ +b. Параметры a и b называются полуосями или полудиаметрами кривой.

Когда n заключено между 0 и 1, суперэллипс выглядит как четырёхконечная звезда с вогнутыми сторонами. В частности, при n = 1/2 стороны звезды являются параболами.

Когда n = 1, кривая представляет собой ромб с вершинами (±a, 0) и (0, ±b). При n в промежутке от 1 до 2 кривая выглядит как ромб с выпуклыми сторонами.

При n = 2 кривая превращается в эллипс (в частности, при a = b — в окружность). При n > 2, кривая выглядит как прямоугольник со скруглёнными углами. В точках (±a, 0) and (0, ±b) кривизна кривой равна нулю.

При n < 2 кривая иногда называется «гипоэллипсом», а при n > 2 — «гиперэллипсом».

Экстремальные точки суперэллипса равны (±a, 0) и (0, ±b), а координаты «углов» (то есть точек пересечения с диагоналями описанного прямоугольника) — (±sa, ±sb), где ${\displaystyle s=2^{-1/n}}$[1]).

Алгебраические свойства

Когда n представляет собой ненулевое рациональное число p/q, суперэллипс представляет собой алгебраическую кривую. Для положительных n порядок равен pq, для отрицательных — 2pq. В частности, когда a = b = 1 и n чётное целое, суперэллипс представляет собой кривую Ферма степени n. В этом случае она не является сингулярной, хотя в общем случае сингулярна^[англ.].

Анимация: суперэллипсы при различных n

Например, если x^4/3 + y^4/3 = 1, то кривая является алгебраической кривой степени 12 третьего рода, задаваемая неявным уравнением

${\displaystyle (x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+}$

${\displaystyle +3(x^{4}+y^{4})-1=0,}$

или параметрическим уравнением

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}$

Площадь суперэллипса выражается формулой

${\displaystyle S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$

Обобщения

Пример обобщённого суперэллипса с m ≠ n

Суперэллипс можно обобщить в виде:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y(\theta )&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}$

(здесь ${\displaystyle \theta }$ — параметр, который не следует интерпретировать как угол).

История

Суперэллипс в виде уравнения в декартовых координатах как обобщение обычного эллипса впервые предложил Габриель Ламе (1795—1870).

Иногда «изобретение» суперэллипса ошибочно приписывают датскому поэту и учёному Питу Хейну (1905—1996). В 1959 году архитектурное управление Стокгольма объявила конкурс на проектирование круговой развязки вокруг площади Сергельсторг. Пит Хейн стал победителем конкурса, предложив транспортное кольцо в виде суперэллипса с n = 2,5 и a/b = 6/5[2]. Реконструкция площади была завершена в 1967 году. Хейн использовал суперэллипс в других дизайнерских разработках — кроватях, тарелках, столах[3]. Вращая суперэллипс вокруг длинной оси, он получил «суперъяйцо», которое стало популярной игрушкой, поскольку в отличие от обычного яйца могло стоять на плоской поверхности.

В 1968 году, когда делегации на переговорах в Париже по вьетнамской войне не могли прийти к согласию о форме стола, был предложен стол в виде суперэллипса[2]. Суперэллиптическую форму имеет стадион «Ацтека» в Мехико, главный стадион Олимпийских игр 1968 года.

Валдо Тоблер в 1973 году разработал картографическую проекцию, известную как гиперэллиптическая проекция Тоблера, в которой меридианы представляют собой суперэллипсы[4].

Шрифт Melior, созданный Германом Цапфом в 1952 году имеет суперэллиптические буквы «o». Считается, что Цапф выбрал форму буквы интуитивно, не имея понятия о математическом содержании этой формы, и только позже Пит Хейн отметил сходство элементов некоторых букв шрифта с суперэллипсами. 30 лет спустя Дональд Кнут встроил в семейство своих шрифтов Computer Modern возможность выбора между настоящими эллипсами и суперэллипсами (обе формы апроксимировались кубическими сплайнами).

На логотипе футбольной команды «Питтсбург Стилерз» изображены три четырёхугольных звезды, которые представляют собой суперэллипсы с n = 0,5.

В мобильной операционной системе iOS, начиная с версии 7, суперэллипсы используются для формирования внешнего контура иконок (вместо квадратов со скруглёнными углами) и группировки иконок (вместо прямоугольников со спрямлёнными углами).[5] В iOS используются параметры a = b = 60 и n = 5.

См. также

• Астроида — суперэллипс с n = 2/3 и a = b, гипоциклоида с четырьмя углами.
  • Дельтоида — трёхугольная гипоциклоида.
• Сквиркл — суперэллипс n = 4 и a = b, выглядящий как «четырёхугольное колесо».
  • Треугольник Рёло — «трёхугольное колесо».
• Суперформула — обобщение суперэллипса.
• Суперквадрики — трёхмерные аналоги суперэллипсов.

Примечания

1. Donald Knuth: The METAFONTbook, p. 126
2. Gardner, Martin (1977), "Piet Hein's Superellipse", Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, New York: Vintage Press, pp. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
3. The Superellipse Архивная копия от 10 марта 2005 на Wayback Machine, in The Guide to Life, The Universe and Everything by BBC (27th June 2003)
4. Tobler, Waldo (1973), "The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections", Journal of Geophysical Research, 78 (11): 1753–1759, Bibcode:1973JGR....78.1753T, doi:10.1029/JB078i011p01753.
5. Updated app icons // Kyle Begeman. Application Development in iOS 7. Packt Publishing Ltd, 2014.

Ссылки

• Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa, Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D. dissertation using superellipsoids)
• Barr, Alan H. (1992), "Rigid Physically Based Superquadrics", in Kirk, David (ed.), Graphics Gems III, Academic Press, pp. 137–159 (code: 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
• Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature, Antwerp: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
• Sokolov, D. D. (2001), "Lamé curve", Springer Encyclopaedia of Mathematics
• Superellipse Calculator & Template Generator
• Superellipse (MathWorld)
• Johan Gielis' and Bert Beirinckx' Архивная копия от 6 декабря 2007 на Wayback Machine «Superformula».