Астроида

Астроида

Астро́ида (от греч. αστρον — звезда и ειδος — вид, то есть звездообразная)[1] — плоская кривая, описываемая точкой окружности радиуса ${\displaystyle r}$, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса ${\displaystyle R=4r}$. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем ${\displaystyle k=4}$.

История

Название кривой в форме «Astrois» предложил австрийский астроном Йозеф Иоганн фон Литров в 1838 г.[2][3][1]

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=R^{2/3}}$

Параметрическое уравнение:[4]

${\displaystyle x=R\cos ^{3}t;\quad y=R\sin ^{3}t}$

Подерное уравнение[5]:

${\displaystyle r^{2}+3p^{2}=a^{2}.}$

Астроида также является алгебраической кривой 1 рода (и шестого порядка). Уравнение в алгебраическом виде:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-R^{2})^{3}+27R^{2}x^{2}y^{2}=0}$

Свойства

Астроида как огибающая

Вытянутая астроида как эволюта эллипса

Эволюта астроиды

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до ${\displaystyle t\leq \pi /2}$

${\displaystyle l={\frac {3}{2}}R\sin ^{2}t}$

• Длина всей кривой ${\displaystyle 6R}$.
• Радиус кривизны:

${\displaystyle r(t)={\frac {3}{2}}R\sin 2t}$

• Площадь, ограниченная кривой:

${\displaystyle S={\frac {3}{8}}\pi R^{2}}$

• Объём тела вращения относительно любой координатной оси:

${\displaystyle V=\pi \int \limits _{-R}^{R}\left(R^{2/3}-x^{2/3}\right)^{3}\,dx={\frac {32}{105}}\,\pi R^{3}}$

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых[1].
• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Астроида (вытянутая вдоль оси) является эволютой эллипса[1]. В этом случае параметрическое выражение имеет вид:

  ${\displaystyle x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t;\quad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}$

• Неопределённый интеграл правой части последнего уравнения является интегралом от дифференциального бинома и равен

${\displaystyle \int b{\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {x}{a}}{\bigg )}^{\frac {2}{3}}{\bigg ]}^{\frac {3}{2}}dx={\frac {1}{16}}b\left({\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}}}\left(-3a{\sqrt[{3}]{\frac {x}{a}}}+x\left(14-8\left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}\right)\right)+3a\arcsin \left({\sqrt[{3}]{\frac {x}{a}}}\right)\right)+C}$

Это выражение полезно при вычислении площадей элементов фигуры.

Примечания

1. Александрова, 2008, с. 17.
2. J. J. v. Littrow. §99. Die Astrois // Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik. — Wien, 1838. — P. 299.
3. Loria, Gino. Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. — Leipzig, 1902. — P. 224.
4. Уравнение в прямоугольных координатах следует из параметрического уравнения и основного тригонометрического тождества. Вывод параметрического уравнения такой. Возьмём уравнение гипоциклоиды, подставим k=4. Синус/косинус тройного угла разложим по формуле синуса/косинуса суммы, то же для синуса/косинуса двойного угла. Учтём R=4r и получим наши уравнения.
5. Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 4.

Литература

• Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд., испр. — М.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.