Инверсия (геометрия)

Не следует путать с центральная симметрия.

Кардиоида — инверсия параболы

Инве́рсия (от лат. inversio «обращение») относительно окружности — преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение

Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность ${\displaystyle \Gamma }$ с центром ${\displaystyle O}$ (называемым полюсом инверсии, или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом ${\displaystyle R}$. Инверсия точки ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle \Gamma }$ есть точка ${\displaystyle P'}$, лежащая на луче ${\displaystyle OP}$ такая, что

${\displaystyle |OP'|\cdot |OP|=R^{2}.}$

Замечания

• Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю и обратно.
• Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» ${\displaystyle \infty }$ и считают её инверсным образом ${\displaystyle O}$, а ${\displaystyle O}$ — инверсным образом ${\displaystyle \infty }$. В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».
• Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Свойства

Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности ${\displaystyle \Gamma }$ с центром O обладает следующими основными свойствами:

• Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
• Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
• Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
• Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
• Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).

${\displaystyle d_{1}/d_{2}={\text{const}}}$

• Инверсия относительно окружности Аполлония, определяемой равенством ${\displaystyle k={\tfrac {PA}{PB}}}$, меняет местами точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$.
• Окружность или прямая, перпендикулярная к ${\displaystyle \Gamma }$, переходит в себя.
• Для того, чтобы точки ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle z*}$ были симметричными относительно окружности ${\displaystyle \Gamma }$, необходимо и достаточно, чтобы любая окружность на расширенной комплексной плоскости, через них проходящая, была ортогональна ${\displaystyle \Gamma }$[1]

• Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утверждения[2]:
  • инверсия кривой есть антиподера этой кривой с последующим полярным преобразованием кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры;
  • инверсия кривой есть подера полярного преобразования этой кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Замечания

• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.
• В теории окружностей и инверсии прямая перпендикулярна к окружности ${\displaystyle \Gamma }$, если она проходит через центр последней.

Построение

Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом[3]:

• Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'.
• Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой ${\displaystyle z=x+iy}$, то это выражение можно представить в виде

${\displaystyle z\mapsto ({\bar {z}})^{-1}}$,

где ${\displaystyle {\bar {z}}}$ — комплексно сопряжённое число для ${\displaystyle z}$. Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке ${\displaystyle O=(x_{0},y_{0})}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ задаётся соотношением

${\displaystyle (x,y)\mapsto \left(x_{0}+{\frac {r^{2}(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}},y_{0}+{\frac {r^{2}(y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right)}$.

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в начале координат задаётся соотношением

${\displaystyle (\phi ,\rho )\mapsto (\phi ,r^{2}/\rho )}$.

Приложения

• Применением инверсии решаются
  • задача Аполлония,
  • тождество Птолемея.
• На свойствах инверсии основан механизм Липкина — Посселье.
• Применением инверсии доказывается теорема Мора — Маскерони, которая утверждает, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)[4][5]
• Существует доказательство свойств окружности Аполлония, основанное на свойстве инверсии.[6]
• При помощи инверсии доказывается поризм Штейнера: в доказательстве используется тот факт, что для любых непересекающихся окружностей существует инверсия, превращающая их в концентрические.
• При помощи инверсии доказывается то, что равны две архимедовы окружности-близнецы в арбелосе.[4]
• При помощи инверсии доказываются свойства окружностей в поризме Паппа Александрийского.[4]
• При помощи инверсии доказывается Теорема о бабочке.[4]

Вариации и обобщения

Инверсия относительно конического сечения

Можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина ${\displaystyle R}$ будет (переменным) расстоянием от центра ${\displaystyle O}$ соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой ${\displaystyle OP}$.

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка ${\displaystyle P}$ между асимптотами, возможен случай, когда прямая ${\displaystyle OP}$ не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления ${\displaystyle R}$ берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка ${\displaystyle P}$ не лежит на асимптоте), а соответствующая величина ${\displaystyle R^{2}}$ берётся со знаком минус, то есть луч ${\displaystyle OP'}$ направляется в сторону, противоположную лучу ${\displaystyle OP}$.

Инверсия относительно параболы — это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение — инверсия относительно конического сечения ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ как середина хорды, высекаемой полярой точки ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$. Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, для полноты определения приходится применять это, частичное, определение в обратную сторону (то есть ${\displaystyle P'}$ — это такая точка, что ${\displaystyle P}$ является серединой хорды, высекаемой полярой ${\displaystyle P'}$ на ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$), что не всегда удобно.

См. также

• Инверсная геометрия^[англ.]
• Инверсия кривой

Примечания

1. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — С. 192. — 577 с.
2. Zwikker C. The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications, 1963, Chapter XI. Pedals and other derived curves, p. 152—153.
3. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 41—42. — 288 с.
4. Жижилкин, 2009.
5. Курант, 2000.
6. § 124 «Геометрии» А. Ю. Давидова.

Литература

• Zwikker C.^[англ.] The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications^[англ.]The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 0486610780. ISBN 9780486610788.

Ссылки

• Ануфриенко С. А. Симметрия относительно окружности.
• Бакельман И. Я. Инверсия. Популярные лекции по математике, Вып. 44, М., Наука, 1966.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М.: МЦНМО, 2009.
• Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?. — М.: МЦМО, 2000. — С. Гл. III, § 4.. — ISBN 5–900916–45–6.