Круговая плоскость

Круговая плоскость (также плоскость Мёбиуса и инверсная плоскость) — плоскость описываемая системой аксиом идентичности, в которой основную роль играют точки и так называемые обобщённые окружности.

Примером круговой плоскости является евклидова плоскость дополненная одной идеальной точкой (${\displaystyle \infty }$). Обобщёнными окружностями являются обычные окружности, а также обычные прямые, дополненные точкой ${\displaystyle \infty }$, отношение инцидентности — отношение принадлежности.

Круговая плоскость: аксиомы (A1), (A2)

Определение

Круговая плоскость это структура инцидентности ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=(P,Z,\in )}$, где ${\displaystyle P}$ — множество точек, ${\displaystyle Z}$ — множество обобщённых окружностей и ${\displaystyle \in }$ — симметричное отношение инцидентности между ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Z}$, удовлетворяющая следующим аксиомам:

A1: Для любых трех точек ${\displaystyle A,B,C}$ существует ровно одна обобщёная окружность ${\displaystyle z}$, которая инцидентна ${\displaystyle A,B,C}$.

A2: Для любой обобщёной окружности ${\displaystyle z}$, любых точек ${\displaystyle P\in z}$ и ${\displaystyle Q\notin z}$ существует ровно одна обобщёная окружность ${\displaystyle z'}$, такая, что: ${\displaystyle P,Q\in z}$ и ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ (то есть, ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle z'}$ касаются друг друга в точке ${\displaystyle P}$).

А3: Любая обобщёная окружность инцидентна по крайней мере трём точкам. Существует по меньшей мере четыре различные точки, не инцидентные одной окружности.

См. также

• Инверсия (геометрия)
• Сфера Римана

Ссылки

• E.F. Assmus Jr and J.D. Key, Designs and their codes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45839-0. с. 309—312.
• P. Dembowski, Finite geometries, Springer Verlag, 1968, repr.1996, ISBN 3540617868.
• D.R. Hughes and F.C. Piper, Design theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-35872-8. с. 133—136.
• И. М. Виноградов. Мёбиуса плоскость // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. — статья из математической энциклопедии. В. В. Афанасьев.
• Möbius plane — статья из Encyclopaedia of Mathematics.